Vienādsānu trijstūra elementi, formula un laukums, aprēķins



A vienādsānu trijstūris Tas ir trīspusējs daudzstūris, kur diviem no tiem ir viens un tas pats mērījums un trešais - atšķirīgs mērījums. Šo pēdējo pusi sauc par bāzi. Šīs īpašības dēļ šim vārdam tika dots nosaukums, kas grieķu valodā nozīmē "vienādas kājas".

Trīsstūri ir poligoni, kas tiek uzskatīti par vienkāršākajiem ģeometrijā, jo tos veido trīs puses, trīs leņķi un trīs virsotnes. Tie ir tie, kuriem ir vismazākais sānu un leņķu skaits attiecībā pret citiem daudzstūriem, tomēr tā izmantošana ir ļoti plaša.

Indekss

  • 1 Vienādmalu trijstūri
    • 1.1
  • 2 Rekvizīti
    • 2.1. Iekšējie leņķi
    • 2.2 Sānu summa
    • 2.3. Kongresīvas puses
    • 2.4. Svētie leņķi
    • 2.5. Augstums, mediāns, bisektors un bisektors sakrīt
    • 2.6. Relatīvie augstumi
    • 2.7. Orthocenter, barycenter, incenter un circumcenter sakrīt
  • 3 Kā aprēķināt perimetru?
  • 4 Kā aprēķināt augstumu?
  • 5 Kā aprēķināt platību?
  • 6 Kā aprēķināt trijstūra pamatni?
  • 7 Vingrinājumi
    • 7.1. Pirmais uzdevums
    • 7.2 Otrais uzdevums
    • 7.3 Trešais uzdevums
  • 8 Atsauces

Vienādmalu trīsstūri

Vienādsānu trijstūris tika klasificēts, izmantojot parametru no tā sāniem, jo ​​divas tās puses ir vienādas (tām ir vienāds garums).

Atbilstoši iekšējo leņķu amplitūdai vienādsānu trijstūri tiek klasificēti kā:

  • Taisnstūra taisnstūra trīsstūris: divas tās puses ir vienādas. Viens no tā leņķiem ir taisns (90. \ To) un pārējie ir vienādi (45. \ to katrs no tiem)
  • Taisnā stūra trijstūris: divas tās puses ir vienādas. Viens no tā leņķiem ir mīksts (> 90o).
  • Vienādsānu acs leņķveida trīsstūris: divas tās puses ir vienādas. Visi tā leņķi ir asas (< 90o), kur diviem ir viens un tas pats pasākums.

Sastāvdaļas

  • Mediāna: ir līnija, kas iziet no vienas puses viduspunkta un sasniedz pretējo virsotni. Trīs mediānas vienojas vienā punktā, ko sauc par centroidu vai centroidu.
  • Bisektors: ir starojums, kas katras virsotnes leņķi sadala divos vienāda lieluma leņķos. Tāpēc tas ir pazīstams kā simetrijas ass, un šāda veida trijstūriem ir tikai viens.
  • Mediatrix: ir segments, kas ir perpendikulārs trijstūra malai, kura ir tās vidū. Trīsstūrī ir trīs mediatrijas, un tie atbilst punktam, ko sauc par circuncentro.
  • Augstums: ir līnija, kas iet no virsotnes uz sāniem, kas ir pretēji, un arī šī līnija ir perpendikulāra šai pusei. Visiem trijstūriem ir trīs augstumi, kas sakrīt ar punktu, ko sauc par ortocentru.

Rekvizīti

Vienādmalu trijstūri ir definēti vai identificēti, jo tiem ir vairākas īpašības, kas viņus pārstāv, un ir radušies no lielo matemātiķu ierosinātajiem teorēmiem:

Iekšējie leņķi

Iekšējo leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 180o.

Sānu summa

Divu pušu mērījumu summai vienmēr jābūt lielākai par trešās puses mērījumu, a + b> c.

Kongruentās puses

Vienādmalu trijstūrim ir divas puses ar vienādu izmēru vai garumu; tas ir, tie ir vienādi un trešā puse atšķiras no tiem.

Kongruenti leņķi

Vienādmalu trijstūri ir arī pazīstami kā izo leņķu trijstūri, jo tiem ir divi leņķi, kuriem ir vienāds mērījums (kongruenti). Tie atrodas trijstūra pamatnē, kas atrodas pretēji pusēm, kurām ir vienāds garums.

Šī iemesla dēļ teorēma, kas nosaka, ka:

"Ja trijstūrim ir divas vienādas puses, tad pretēji šīm pusēm arī leņķi būs vienādi." Tāpēc, ja trijstūris ir vienāds, tā pamatu leņķi ir vienādi.

Piemērs:

Nākamajā attēlā redzams ABC trijstūris. Izsekojot tās bisektoru no B leņķa virsmas līdz pamatnei, trijstūris ir sadalīts divos trijstūriem, kas ir vienādi ar BDA un BDC:

Tādējādi virsotnes B leņķis tika sadalīts divos vienādos leņķos. Bisektors tagad ir sānu (BD), kas ir kopīgs starp šiem diviem jaunajiem trijstūriem, savukārt sānos AB un BC ir vienādas puses. Tātad jums ir kongruences sānu, leņķa, sānu (LAL) gadījums.

Tas liecina, ka A un C virsotņu leņķiem ir vienāds mērījums, tāpat kā var arī pierādīt, ka, tā kā trijstūri BDA un BDC ir vienādi, arī AD un DC puses ir vienādas..

Augstums, mediāns, bisektors un bisektors sakrīt

Līnija, kas tiek ņemta no virsotnes, kas atrodas pretī bāzei, līdz vienādsānu trijstūra pamatnes viduspunktam, tajā pašā laikā ir augstums, vidējais un bisektors, kā arī bisektrs attiecībā pret pamatnes pretējo leņķi..

Visi šie segmenti sakrīt ar tiem, kas tos pārstāv.

Piemērs:

Nākamajā attēlā redzams trijstūris ABC ar viduspunktu M, kas sadala pamatni divos segmentos BM un CM.

Kad zīmējat segmentu no punkta M uz pretējo virsotni, pēc definīcijas jūs saņemat vidējo AM, kas ir attiecībā pret virsotni A un BC pusē.

Tā kā AM segments sadala trijstūri ABC divos vienādos trijstūros AMB un AMC, tas nozīmē, ka tiks ņemts vērā sānu, leņķa, sānu kongruences gadījums, un tāpēc AM būs arī BÂC bisektors..

Tāpēc bisektors vienmēr būs vienāds ar vidējo un otrādi.

AM segments veido leņķus, kuriem ir tāds pats mērs AMB un AMC trijstūriem; tas ir, tie ir papildinoši tādā veidā, ka katra pasākuma pasākums būs:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90o

Ir zināms, ka leņķi, ko veido AM segments attiecībā pret trijstūra pamatni, ir taisni, kas norāda, ka šis segments ir pilnīgi perpendikulārs pamatnei..

Tāpēc tas ir augstums un bisektors, zinot, ka M ir viduspunkts.

Tāpēc taisnā līnija AM:

  • Pārstāv BC augstumu.
  • Tas ir vidējs.
  • Tas ir iekļauts BC mediatrix.
  • Tas ir virsotnes virsotnes leņķis Â

Relatīvie augstumi

Augstumiem, kas ir salīdzināmi ar vienādām pusēm, ir tāds pats pasākums.

Tā kā vienādsānu trijstūrim ir divas vienādas puses, to divi attiecīgie augstumi būs vienādi.

Orthocenter, barycenter, incenter un circumcenter sakrīt

Tā kā augstumu, vidējo, bisektoru un bisektoru attiecībā pret pamatni vienlaicīgi attēlo tas pats segments, ortocentrs, centrocentriskais incenter un circumcenter būs kolināri punkti, tas ir, tie būs vienā rindā:

Kā aprēķināt perimetru?

Poligona perimetru aprēķina pēc sānu summas.

Tā kā šajā gadījumā vienādsānu trijstūrim ir divas puses ar vienu un to pašu mērījumu, tā perimetru aprēķina pēc šādas formulas:

P = 2*(a) pusē + (b pusē).

Kā aprēķināt augstumu?

Augstums ir līnija, kas ir perpendikulāra pamatnei, sadala trijstūri divās vienādās daļās, paplašinot to pretējā virsotnē.

Augstums ir pretējā kāja (a), puse no pamatnes (b / 2) līdz blakus esošajai kājai un “a” puse ir hipotenūze.

Izmantojot Pitagora teorēmu, varat noteikt augstuma vērtību:

a2 + b2 = c2

Kur:

a2 = augstums (h).

b2 = b / 2.

c2 = puse a.

Šo vērtību aizstāšana ar Pitagora teorēmu un tās augstuma notīrīšana:

h2 + (b / 2)2 = a2

h2 + b2 / 4 = a2

h2 = a2 - b2 / 4

h = √ (a2 - b2 / 4).

Ja ir zināms, ka leņķis, ko veido saskaņotās puses, ir augstums, to var aprēķināt ar šādu formulu:

Kā aprēķināt platību?

Trijstūru laukums vienmēr tiek aprēķināts ar to pašu formulu, reizinot bāzi ar augstumu un dalot ar diviem:

Ir gadījumi, kad ir zināmi tikai trijstūra divu pusju mērījumi un starp tām veidotais leņķis. Šajā gadījumā, lai noteiktu platību, ir nepieciešams piemērot trigonometriskos koeficientus:

Kā aprēķināt trijstūra pamatni?

Tā kā vienādsānu trijstūrim ir divas vienādas puses, lai noteiktu tās pamatnes vērtību, ir jāzina vismaz augstuma vai tā leņķa izmērs.

Zinot Pythagoras teorēmas augstumu:

a2 + b2 = c2

Kur:

a2 = augstums (h).

c2 = puse a.

b2 = b / 2, nav zināms.

Mēs noskaidrojām b2 mums ir:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Tā kā šī vērtība atbilst pusei no pamatnes, tā ir jāreizina ar diviem, lai iegūtu vienādmalu trijstūra pamatnes pilno mērījumu:

b = 2 * (√ a2 - c2)

Gadījumā, ja ir zināms tikai tās vienādās puses vērtība un leņķis starp tiem, tiek pielietota trigonometrija, izsekojot līniju no virsotnes līdz pamatnei, kas sadala taisnstūra trijstūri divos labos trīsstūros.

Tādējādi puse no bāzes tiek aprēķināta ar:

Ir arī iespējams, ka ir zināms tikai tās virsotnes augstuma un leņķa vērtība, kas ir pretējs pamatnei. Tādā gadījumā, izmantojot trigonometriju, bāzi var noteikt:

Vingrinājumi

Pirmais uzdevums

Atrodiet vienādsānu trijstūra ABC laukumu, zinot, ka divi no tā malām ir 10 cm un trešais sānu garums ir 12 cm..

Risinājums

Lai atrastu trijstūra laukumu, ir nepieciešams aprēķināt augstumu, izmantojot laukuma, kas ir saistīts ar Pitagora teorēmu, formulu, jo leņķa, kas veidojas starp vienādām pusēm, vērtība nav zināma.

Mums ir šādi dati par vienādsānu trijstūri:

  • Vienādas puses (a) = 10 cm.
  • Bāze (b) = 12 cm.

Formulas vērtības tiek aizstātas:

Otrais uzdevums

Vienādu taisnstūra trijstūra abu vienādo malu garums ir 42 cm, šo sānu savienojums veido 130 ° leņķio. Nosakiet trešās puses vērtību, tā trijstūra laukumu un perimetru.

Risinājums

Šajā gadījumā ir zināmi sānu mērījumi un leņķis starp tiem.

Lai uzzinātu trūkstošās puses vērtību, proti, šī trijstūra pamatni, līnija tiek vērsta perpendikulāri tai, sadalot leņķi divās vienādās daļās, pa vienam katram veidotajam labajam trīsstūrim..

  • Vienādas puses (a) = 42 cm.
  • Leņķis (Ɵ) = 130o

Tagad ar trigonometriju aprēķina pusi no bāzes vērtības, kas atbilst pusei no hipotenusa:

Lai aprēķinātu platību, ir jāzina šī trijstūra augstums, ko var aprēķināt ar trigonometriju vai Pitagora teorēmu, tagad, kad bāzes vērtība jau ir noteikta.

Pēc trigonometrijas tas būs:

Perimetru aprēķina:

P = 2*(a) pusē + (b pusē).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Trešais uzdevums

Aprēķiniet vienādsānu trijstūra iekšējos leņķus, zinot, ka pamatnes leņķis ir  = 55o

Risinājums

Lai atrastu divus trūkstošos leņķus (Ê un Ô), ir jāatceras divas trijstūru īpašības:

  • Katra trijstūra iekšējo leņķu summa vienmēr būs = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • Vienādmalu trijstūrī pamatnes leņķi vienmēr ir vienādi, ti, tiem ir tāds pats pasākums, tāpēc:

 = Ô

Ê = 55o

Lai noteiktu leņķa Ê vērtību, aizstājiet citu leņķu vērtības pirmajā noteikumā un skaidri Ê:

55o + 55o + 180 = 180 o

110 o + 180 = 180 o

180 = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Atsauces

  1. Álvarez, E. (2003). Ģeometrijas elementi: ar daudziem vingrinājumiem un kompasa ģeometriju. Medeljinas Universitāte.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehniskais rasējums: darbības piezīmjdators.
  3. Angel, A. R. (2007). Elementārā algebra Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
  5. Baldors, A. (1941). Algebra Havana: kultūra.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Matemātika 2.
  7. Tuma, J. (1998). Inženiertehniskās matemātikas rokasgrāmata. Wolfram MathWorld.