Mēroga trijstūra iezīmes, formula un laukumi, aprēķins



A skalēna trīsstūris Tas ir trīspusējs daudzstūris, kur ikvienam ir dažādi mērījumi vai garumi; šī iemesla dēļ tai tiek dots nosaukums scalene, kas latīņu valodā nozīmē kāpšanu.

Trīsstūri ir poligoni, kurus ģeometrijā uzskata par vienkāršākajiem, jo ​​tie ir veidoti trīs pusēs, trīs leņķos un trīs virsotnēs. Skalēna trijstūra gadījumā, jo tai ir visas dažādās puses, tas nozīmē, ka tā trīs leņķi arī būs atšķirīgi..

Indekss

  • 1 Skalēna trijstūru raksturojums
    • 1.1
  • 2 Rekvizīti
    • 2.1. Iekšējie leņķi
    • 2.2 Sānu summa
    • 2.3 Neatbilstošas ​​puses
    • 2.4 Neatbilstoši leņķi
    • 2.5 Augstums, vidējais, bisektors un bisektors nav sakritības
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter un circumcenter nav sakritības
    • 2.7. Relatīvie augstumi
  • 3 Kā aprēķināt perimetru?
  • 4 Kā aprēķināt platību?
  • 5 Kā aprēķināt augstumu?
  • 6 Kā aprēķināt sānus?
  • 7 Vingrinājumi
    • 7.1. Pirmais uzdevums
    • 7.2 Otrais uzdevums
    • 7.3 Trešais uzdevums
  • 8 Atsauces

Scalene trijstūri

Mēroga trijstūri ir vienkārši poligoni, jo nevienam no to sāniem vai leņķiem nav vienāda mērījuma, atšķirībā no vienādmalu un vienādmalu trijstūriem.

Tā kā visiem tās sāniem un leņķiem ir dažādi mērījumi, šie trīsstūri tiek uzskatīti par neregulāriem izliektiem daudzstūriem.

Saskaņā ar iekšējo leņķu amplitūdu skalēna trīsstūri tiek klasificēti kā:

  • Taisnstūra trīsstūris: visas tās puses ir atšķirīgas. Viens no tā leņķiem ir taisns (90. \ To) un citi ir asas un ar dažādiem pasākumiem.
  • Mēroga noliekuma leņķa trīsstūris: visas tās malas ir atšķirīgas, un viens no tā leņķiem ir mīksts (> 90o).
  • Mēroga acu leņķa trīsstūris: visas tās puses ir atšķirīgas. Visi tā leņķi ir asas (< 90o), ar dažādiem pasākumiem.

Vēl viena skalēna trijstūru pazīme ir tā, ka to sānu un leņķu neatbilstības dēļ tām nav simetrijas ass..

Sastāvdaļas

Mediāna: ir līnija, kas iziet no vienas puses viduspunkta un sasniedz pretējo virsotni. Trīs mediānas vienojas vienā punktā, ko sauc par centroidu vai centroidu.

Bisektors: ir starojums, kas iedala katru leņķi divos vienāda izmēra leņķos. Trīsstūra bisektori vienojas, ko sauc par stimro.

Mediatrix: ir segments, kas ir perpendikulārs trijstūra malai, kura ir tās vidū. Trīsstūrī ir trīs multivides un vienojas tādā punktā, ko sauc par circumcenter.

Augstums: ir līnija, kas iet no virsotnes uz sāniem, kas ir pretēji, un arī šī līnija ir perpendikulāra šai pusei. Visiem trijstūriem ir trīs augstumi, kas sakrīt ar punktu, ko sauc par ortocentru.

Rekvizīti

Mēroga trijstūri ir definēti vai identificēti, jo tiem ir vairākas īpašības, kas tos atspoguļo, un to pamatā ir lielie matemātiķi. Tie ir:

Iekšējie leņķi

Iekšējo leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 180o.

Sānu summa

Divu pušu mērījumu summai vienmēr jābūt lielākai par trešās puses mērījumu, a + b> c.

Nepastāvīgas puses

Visām skalēna trijstūru pusēm ir dažādi pasākumi vai garumi; tas ir, tie ir nesaderīgi.

Neatbilstoši leņķi

Tā kā visas skalēna trīsstūra puses ir atšķirīgas, arī to leņķi būs atšķirīgi. Tomēr iekšējo leņķu summa vienmēr būs vienāda ar 180º, un dažos gadījumos viens no tā leņķiem var būt mīksts vai taisns, bet citos - visi tā leņķi būs akūti.

Augstums, mediāns, bisektors un bisektors nav sakritības

Līdzīgi kā jebkuram trijstūrim, skalēnam ir vairāki taisnu līniju segmenti, kas to veido, piemēram, augstums, vidējais, bisektors un bisektors.

Sakarā ar sānu īpašībām, šāda veida trijstūrī neviena no šīm līnijām nesakrīt vienā.

Orthocenter, barycenter, incenter un circumcenter nav sakritības

Tā kā augstumu, vidējo, bisektoru un bisektoru attēlo dažādi taisnu līniju segmenti, tad skalēnas trijstūrī tikšanās punkti - ortocentrs, centrocentrs, incenter un circumcenter - atradīsies dažādos punktos (tie nesakrīt).

Atkarībā no tā, vai trijstūris ir akūts, taisnstūris vai skalēns, ortocentrā ir dažādas atrašanās vietas:

a. Ja trijstūris ir akūts, ortocentrs atrodas trīsstūra iekšpusē.

b. Ja trijstūris ir taisnstūris, ortocentrs sakrīt ar taisnas malas virsotni.

c. Ja trijstūris ir pārmērīgs, ortocentrs būs trīsstūra ārpusē.

Relatīvie augstumi

Augstums ir attiecībā pret sāniem.

Skalēna trijstūra gadījumā šiem augstumiem būs dažādi mērījumi. Katram trijstūrim ir trīs relatīvi augstumi un to aprēķināšanai tiek izmantota Herona formula.

Kā aprēķināt perimetru?

Poligona perimetru aprēķina pēc sānu summas.

Tā kā šajā gadījumā skalēna trijstūrim ir visas puses ar atšķirīgu izmēru, tā perimetrs būs:

P = puse a + pusē b + puse c.

Kā aprēķināt platību?

Trijstūru laukums vienmēr tiek aprēķināts ar to pašu formulu, reizinot bāzi ar augstumu un dalot ar diviem:

Platība = (bāze * h) ÷ 2

Dažos gadījumos skalēna trijstūra augstums nav zināms, bet matemātiķis Herons ir ierosinājis formulu, lai aprēķinātu laukumu, zinot trīsstūra trīs malas mērīšanu.

Kur:

  • a, b un c attēlo trijstūra malas.
  • sp, atbilst trīsstūra pusperimetram, tas ir, pusei no perimetra:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Gadījumā, ja jums ir tikai divas trijstūra malas un starp tām veidotais leņķis, laukumu var aprēķināt, pielietojot trigonometriskos rādītājus. Tātad jums ir:

Platība = (puse * h) ÷ 2

Ja augstums (h) ir vienas puses rezultāts pretējā leņķa sinusam. Piemēram, katrā pusē apgabals būs:

  • Platība = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Platība = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Platība = (a * b * sen C) ÷ 2

Kā aprēķināt augstumu?

Tā kā visas skalēna trīsstūra puses ir atšķirīgas, augstumu nevar aprēķināt ar Pitagora teorēmu..

No Heronas formulas, kas balstās uz trijstūra trīs malas mērījumiem, platību var aprēķināt.

Augstumu var iztīrīt no apgabala vispārējās formulas:

Sānu aizstāj ar a, b vai c sānu mērījumiem.

Vēl viens veids, kā aprēķināt augstumu, ja ir zināms viena no leņķiem, ir pielietot trigonometriskos rādītājus, kur augstums attēlo trijstūra kāju..

Piemēram, ja ir zināms pretējs leņķis pret augstumu, to noteiks sinuss:

Kā aprēķināt malas?

Ja jums ir divu pušu izmērs un pretējais leņķis, tad var noteikt trešo pusi, pielietojot kosinusu teorēmu..

Piemēram, AB trijstūrī tiek attēlots augstums attiecībā pret segmentu AC. Tādā veidā trijstūris ir sadalīts divos labos trīsstūros.

Lai aprēķinātu c-pusi (segmentu AB), katram trijstūrim tiek piemērots Pitagora teorēma:

  • Zilajam trīsstūrim jums ir:

c2 = h2 + m2

Tā kā m = b - n, tas tiek aizstāts:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Par rozā trīsstūri jums:

h2 = a2 - n2

Tas tiek aizstāts ar iepriekšējo vienādojumu:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2 miljardi.

Zinot, ka n = a * cos C, tiek aizstāts iepriekšējā vienādojumā, un iegūst c sānu vērtību:

c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Pēc Cosines likuma puses var aprēķināt kā:

  • a2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* a * cos C.

Ir gadījumi, kad trijstūra malas mērījumi nav zināmi, bet to augstums un leņķi, kas veidoti virsotnēs. Lai noteiktu apgabalu šajos gadījumos, ir nepieciešams izmantot trigonometriskos rādītājus.

Zinot viena tās virsotnes leņķi, tiek identificētas kājas un tiek izmantota atbilstošā trigonometriskā attiecība:

Piemēram, AB cathetus būs pretējs leņķim C, bet blakus leņķim A. Atkarībā no sāniem vai katetēm, kas atbilst augstumam, otra puse tiek notīrīta, lai iegūtu šīs vērtības vērtību..

Vingrinājumi

Pirmais uzdevums

Aprēķiniet ABC skalēna trijstūra laukumu un augstumu, zinot, ka tās malas ir:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Risinājums

Kā dati tiek doti skalenes trijstūra trīs pusēs.

Tā kā jums nav augstuma vērtības, varat noteikt apgabalu, izmantojot Heron formulu.

Vispirms tiek aprēķināts semiperimetrs:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Tagad tiek aizstātas Heronas formulas vērtības:

Zinot zonu, var aprēķināt relatīvo augstumu b pusē. No vispārējās formulas tā ir:

Platība = (puse * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Otrais uzdevums

Ņemot vērā skalēna trīsstūri ABC, kura pasākumi ir:

  • Segments AB = 25 m.
  • Segments BC = 15 m.

B virsotnē veidojas 50 ° leņķis. Aprēķiniet relatīvo augstumu līdz trijstūra malai c, perimetram un laukumam.

Risinājums

Šajā gadījumā jums ir divu pušu pasākumi. Lai noteiktu augstumu, ir nepieciešams aprēķināt trešās puses mērījumu.

Tā kā ir dots leņķis pretī norādītajām pusēm, ir iespējams piemērot kosines likumu, lai noteiktu AC sānu mērījumu (b):

b2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

Kur:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

Dati tiek aizstāti:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = 7367,985

b = 19,18 m.

Tā kā jums jau ir trīs pušu vērtība, aprēķiniet šī trijstūra perimetru:

P = puse a + pusē b + puse c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Tagad ir iespējams noteikt platību, izmantojot Heron formulu, bet vispirms ir jāaprēķina semiperimetrs:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Sānu un semiperimetra mērījumi tiek nomainīti Heron formātā:

Visbeidzot, zinot zonu, var aprēķināt relatīvo augstumu c pusē. No vispārējās formulas tā ir jāizdzēš:

Platība = (puse * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2) ÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Trešais uzdevums

Scalene trijstūrī ABC sānu b garums ir 40 cm, sānu c izmērs ir 22 cm, bet virsotnē A - 90 leņķis.o. Aprēķiniet šī trijstūra laukumu.

Risinājums

Šajā gadījumā tiek doti abu skalēna trijstūra ABC izmēri, kā arī leņķis, kas veidojas virsotnē A.

Lai noteiktu platību, nav nepieciešams aprēķināt sānu a mērījumu, jo, izmantojot trigonometriskos rādītājus, tiek atrasts leņķis..

Tā kā ir zināms pretējais leņķis attiecībā pret augstumu, to noteiks produkts vienā pusē un leņķis no leņķa.

Aizstājiet apgabala formulu, kurā jums ir:

  • Platība = (puse * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Platība = (b * c * sen A) ÷ 2

Platība = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Platība = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Platība = 880 cm2 ÷ 2

Platība = 440 cm2.

Atsauces

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehniskais rasējums: darbības piezīmjdators.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Ģeometrijas CR tehnoloģija, .
  3. Angel, A. R. (2007). Elementārā algebra Pearson Education,.
  4. Baldors, A. (1941). Algebra Havana: kultūra.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Plakana Eiklīda ģeometrija. Riodežaneiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Ģeometrijas pamati Meksika: Limusa-Vīlija.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Koledžas studentu elementārā ģeometrija. Cengage mācīšanās.
  8. Harpe, P. d. (2000). Ģeometriskās grupas teorijas tēmas. Čikāgas preses universitāte.