Vienādmalu trīsstūra iezīmes, īpašības, formulas un apgabals



A vienādmalu trīsstūris tas ir daudzstūris ar trim pusēm, kur visi ir vienādi; tas ir, tie ir vienādi. Šai pazīmei tika piešķirts vienādmalu nosaukums (vienādas puses).

Trīsstūri ir poligoni, kurus ģeometrijā uzskata par vienkāršākajiem, jo ​​tie ir veidoti trīs pusēs, trīs leņķos un trīs virsotnēs. Vienādmalu trijstūra gadījumā ar vienādām pusēm tas nozīmē, ka tā trīs leņķi būs arī.

Indekss

  • 1 Vienādmalu trīsstūri
    • 1.1 Vienādas puses
    • 1.2
  • 2 Rekvizīti
    • 2.1. Iekšējie leņķi
    • 2.2. Ārējie leņķi
    • 2.3 Sānu summa
    • 2.4. Kongresīvās puses
    • 2.5. Kongresīvi leņķi
    • 2.6 Bisektors, mediāns un mediatrix ir sakritības
    • 2.7. Bisektors un augstums sakrīt
    • 2.8. Orthocenter, barycenter, incenter un circumcenter sakrīt
  • 3 Kā aprēķināt perimetru?
  • 4 Kā aprēķināt augstumu?
  • 5 Kā aprēķināt sānus?
  • 6 Kā aprēķināt platību?
  • 7 Vingrinājumi
    • 7.1. Pirmais uzdevums
    • 7.2 Otrais uzdevums
    • 7.3 Trešais uzdevums
  • 8 Atsauces

Līdzvērtīgu trijstūru raksturojums

Vienādas puses

Vienādmalu trīsstūri ir plakani un slēgti skaitļi, kas sastāv no trim taisnu līniju segmentiem. Trīsstūri tiek klasificēti pēc to īpašībām attiecībā pret to sāniem un leņķiem; vienādraksts tika klasificēts, izmantojot tās sānu mērvienību kā parametru, jo tie ir tieši tādi paši, tas ir, tie ir vienādi.

Vienādmalu trīsstūris ir īpašs vienādmalu trijstūra gadījums, jo divas tās puses ir vienādas. Tāpēc visi vienādmalu trijstūri ir vienlīdzīgi, bet ne visi vienādmalu trijstūri būs vienādmalu.

Tādā veidā vienādmalu trijstūriem ir vienādas taisnstūra trijstūra īpašības.

Vienādos trijstūrus var klasificēt arī pēc to iekšējo leņķu amplitūdas kā vienādmalu leņķveida trīsstūri, kam ir trīs puses un trīs iekšējie leņķi ar vienu un to pašu mērījumu. Leņķi būs asi, ti, tie būs mazāki par 90o.

Sastāvdaļas

Trīsstūriem kopumā ir vairākas līnijas un punkti, kas to veido. Tos izmanto, lai aprēķinātu platību, malas, leņķus, vidējo, bisektoru, perpendikulāru un augstumu.

  • Mediāna: ir līnija, kas iziet no vienas puses viduspunkta un sasniedz pretējo virsotni. Trīs mediānas vienojas vienā punktā, ko sauc par centroidu vai centroidu.
  • Bisektors: ir starojums, kas virsotņu leņķi sadala divos vienāda izmēra leņķos, tāpēc to sauc par simetrijas asi. Vienādmalu trijstūrim ir trīs simetrijas asis.

Vienādmalu trijstūrī bisektrs tiek noņemts no leņķa virsotnes pretējā pusē, sagriežot to viduspunktā. Šie punkti sakrīt ar stimulu.

  • Mediatrix: ir segments, kas ir perpendikulārs trijstūra malai, kura ir tās vidū. Trīsstūrī ir trīs mediatrijas, un tie atbilst punktam, ko sauc par circuncentro.
  • Augstums: ir līnija, kas iet no virsotnes uz sāniem, kas ir pretēji, un arī šī līnija ir perpendikulāra šai pusei. Visiem trijstūriem ir trīs augstumi, kas sakrīt ar punktu, ko sauc par ortocentru.

Rekvizīti

Vienādmalu trijstūru galvenā īpašība ir tāda, ka tie vienmēr būs vienādmalu trijstūri, jo vienādās puses veido divas līdzvērtīgas puses un trīspusēji līdzenumi..

Tādā veidā vienādmalu trīsstūri mantoja visas vienādsānu trijstūra īpašības:

Iekšējie leņķi

Iekšējo leņķu summa vienmēr ir vienāda ar 180o, un tā kā visi tā leņķi ir vienādi, tad katrs no tiem mērīs 60o.

Ārējie leņķi

Ārējo leņķu summa vienmēr būs vienāda ar 360o, tāpēc katrs ārējais leņķis mērīs 120o. Tas ir tāpēc, ka iekšējie un ārējie leņķi ir papildu, ti, to pievienošana vienmēr būs vienāda ar 180o.

Sānu summa

Divu pušu mērījumu summai vienmēr jābūt lielākai par trešās puses mērījumu, ti, a + b> c, kur a, b un c ir katras puses mērījumi..

Kongruentās puses

Vienādmalu trijstūriem ir trīs puses ar vienādu izmēru vai garumu; tas ir, tie ir vienādi. Tāpēc iepriekšējā pozīcijā ir a = b = c.

Kongruenti leņķi

Vienādos trijstūri ir arī pazīstami kā līdzenstūra trīsstūri, jo to trīs iekšējie leņķi ir vienādi. Tas ir tāpēc, ka visām tās pusēm ir vienāds pasākums.

Bisektors, mediāns un mediatrix sakrīt

Bisektors sadala trijstūra pusi divās daļās. Vienādmalu trijstūrī šī puse tiks sadalīta divās tieši vienādās daļās, tas ir, trīsstūris tiks sadalīts divos vienādos labos trijstūros.

Tādējādi bisektors, kas ņemts no jebkura taisnstūra trijstūra leņķa, sakrīt ar šī leņķa pretējās puses vidējo un bisektoru.

Piemērs:

Nākamajā attēlā redzams trijstūris ABC ar viduspunktu D, kas sadala vienu no tās malām divos segmentos AD un BD.

Kad jūs zīmējat līniju no punkta D uz pretējo virsotni, pēc definīcijas jūs saņemat vidējo CD, kas ir attiecībā pret virsotni C un AB pusi.

Tā kā CD segments sadala trijstūri ABC divos trijstūros, kas ir vienādi ar CDB un CDA, tas nozīmē, ka mums būs kongruences gadījums: sānu, leņķa, sānu un līdz ar to arī CD būs BCD bisektors..

Zīmējot kompaktdisku segmentu, sadaliet virsotnes leņķi divos vienādos 30 leņķoso, virsotnes A leņķis turpina mērīt 60o un taisns CD veido 90 ° leņķio attiecībā pret D viduspunktu.

Segmenta kompaktdisks veido leņķus, kuriem ir tāds pats mērījums kā ADC un BDC trijstūriem, tas ir, tie ir papildinoši tādā veidā, ka katra mērīšana būs:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180o

2 * Med. (ADC) = 180o

Med. (ADC) = 180o ÷ 2

Med. (ADC) = 90o.

Tātad, jums ir tas, ka CD segments ir arī AB sānu bisektors.

Bisektors un augstums sakrīt

Kad jūs vēršat bisektru no leņķa virsotnes līdz pretējās puses viduspunktam, tas sadala vienādmalu trīsstūri divos kongruentos trijstūros.

Tādā veidā veidojas 90 leņķiso (taisni). Tas norāda, ka šis līnijas segments ir pilnīgi perpendikulārs šai pusei, un pēc definīcijas šī līnija būtu augstums.

Šādā veidā jebkura līdzvērtīga trijstūra jebkura leņķa bisektors sakrīt ar relatīvo augstumu pretējā leņķa pretējā pusē.

Orthocenter, barycenter, incenter un circumcenter sakrīt

Tā kā augstumu, vidējo, bisektoru un bisektoru vienlaicīgi reprezentē viens un tas pats segments, līdzvērtīgā trijstūrī šo segmentu tikšanās punkti - ortocentrs, bārcijs, incenter un circumcenter- būs vienā punktā:

Kā aprēķināt perimetru?

Poligona perimetru aprēķina pēc sānu summas. Tā kā šajā gadījumā vienādmalu trijstūrim ir visas puses ar vienu un to pašu mēru, tā perimetru aprēķina pēc šādas formulas:

P = 3 * pusē.

Kā aprēķināt augstumu?

Tā kā augstums ir līnija, kas ir perpendikulāra pamatnei, tā sadalās divās vienādās daļās, paplašinot to pretējā virsotnē. Tādējādi veidojas divi vienādi labie trīsstūri.

Augstums (h) ir pretējā puse (a), puse no sāniem AC līdz blakus esošajai pusei (b) un BC puse ir hipotenēze (c).

Izmantojot Pitagora teorēmu, varat noteikt augstuma vērtību:

a2 + b2= c2

Kur:

a2 = augstums (h).

b2 = puse b / 2.

c2 = puse a.

Šo vērtību aizstāšana ar Pitagora teorēmu un tās augstuma notīrīšana:

h2 + ( l / 2)2 = l2

h2 +  l2/ 4 = l2

h2 = l2  -  l2/ 4

h2 = (4. \ T*l2 -  l2) / 4

h2 =  3*l2/4

√h2 = √ (3*l2/4)

Ja ir zināms, ka leņķis, ko veido saskaņotās puses, ir augstums (ko apzīmē kāja), var aprēķināt, izmantojot trigonometriskos rādītājus.

Kājas, ko sauc par atskaites punktu, sauc par pretējām vai blakus esošām kājām.

Piemēram, iepriekšējā attēlā katets h būs pretējs leņķim C, bet blakus leņķim B:

Tādējādi augstumu var aprēķināt, izmantojot:

Kā aprēķināt malas?

Ir gadījumi, kad trijstūra malas mērījumi nav zināmi, bet to augstums un leņķi, kas veidoti virsotnēs.

Lai noteiktu apgabalu šajos gadījumos, ir nepieciešams izmantot trigonometriskos rādītājus.

Zinot viena tās virsotnes leņķi, tiek identificētas kājas un tiek izmantota atbilstošā trigonometriskā attiecība:

Līdz ar to kāja AB būs pretējs leņķim C, bet blakus leņķim A. Atkarībā no augstuma atbilstošās sānu vai kājas, otra puse tiek notīrīta, lai iegūtu šīs vērtības vērtību, zinot, ka trīspusējā trīsstūrī trīs pusēs vienmēr būs vienāds izmērs.

Kā aprēķināt platību?

Trijstūru laukums vienmēr tiek aprēķināts ar to pašu formulu, reizinot bāzi ar augstumu un dalot ar diviem:

Platība = (b * h) ÷ 2

Zinot, ka augstumu nosaka pēc formulas:

Vingrinājumi

Pirmais uzdevums

Vienādmalu trijstūra ABC malas ir 20 cm. Aprēķiniet šī daudzstūra augstumu un laukumu.

Risinājums

Lai noteiktu šīs vienādmalu trijstūra laukumu, ir jāaprēķina augstums, zinot, ka, zīmējot to, trijstūris tiek sadalīts divos vienādos taisnstūros..

Tādā veidā Pythagorean teorēmu var izmantot, lai to atrastu:

a2 + b2= c2

Kur:

a = 20/2 = 10 cm.

b = augstums.

c = 20 cm.

Dati teorēmā tiek aizstāti:

102 + b2 = 202

100 cm + b2 = 400 cm

b2 = (400 - 100) cm

b2 = 300 cm

b = √300 cm

b = 17,32 cm.

Tas nozīmē, ka trijstūra augstums ir vienāds ar 17,32 cm. Tagad ir iespējams aprēķināt konkrētā trijstūra laukumu, aizstājot formulu:

Platība = (b * h) ÷ 2

Platība = (20 cm) * 17,32 cm) ÷ 2

Platība = 346,40 cm2 ÷ 2

Platība = 173,20 cm2.

Vēl viens vienkāršāks veids, kā atrisināt šo uzdevumu, ir aizstāt datus tiešā apgabala formulā, kur augstums arī netieši ir:

Otrais uzdevums

Zemē, kurā ir vienādmalu trīsstūra forma, ziedi tiks stādīti. Ja šīs zemes platība ir 450 m, aprēķiniet ziedu aizņemto kvadrātmetru skaitu.

Risinājums

Zinot, ka trīsstūra perimetrs atbilst tās trīs pusēm, un tā kā reljefs ir vienādmalu trijstūra forma, šīs trīsstūra trīs pusēm būs tāds pats mērījums vai garums:

P = sānu + sānu + sānu = 3 * l

3 * l = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Tagad ir nepieciešams tikai aprēķināt šī trijstūra augstumu.

Augstums sadala trijstūri divos vienādos labajos trīsstūros, kur viena no kājām ir augstums un otra puse no pamatnes. Ar Pitagora teorēmu augstumu var noteikt:

a2 + b2= c2

Kur:

a = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = augstums

Dati teorēmā tiek aizstāti:

(75 m)2+ b2 = (150 m)2

5,625 m + b2 = 22 500 m

b2 = 22 500 m - 5 625 m

b2 = 16,875 m

b = ,816,875 m

b = 129,90 m.

Tātad platība, kas aizņems ziedus, būs:

Platība = b * h ÷ 2

Platība = (150 m * 129,9 m) ÷ 2

Platība = (19,485 m)2) ÷ 2

Platība = 9,742,5 m2

Trešais uzdevums

Vienādmalu trijstūris ABC ir sadalīts ar līnijas segmentu, kas iet no tās virsotnes C līdz viduspunktam D, kas atrodas pretējā pusē (AB). Šajā segmentā ir 62 metri. Aprēķiniet šīs vienādmalu trijstūra laukumu un perimetru.

Risinājums

Zinot, ka vienādmalu trīsstūris ir sadalīts ar līnijas segmentu, kas atbilst augstumam, tādējādi veidojot divus taisnīgus trīsstūri, tas savukārt sadala virsotnes C leņķi divos leņķos ar vienu un to pašu mērījumu, 30o katrs no tiem.

Augstums veido 90 leņķio attiecībā pret AB segmentu un virsotnes A leņķis tad izmērīs 60o.

Tad izmantojiet kā atskaites punktu 30o, augstums CD ir izveidots kā kāja blakus leņķim un BC kā hipotenūze.

No šiem datiem var noteikt viena no trijstūra malām, izmantojot trigonometriskos rādītājus:

Tā kā vienādmalu trijstūrī visām pusēm ir tieši tāds pats mērs vai garums, tas nozīmē, ka abpusējā taisnstūra trijstūra ABC puse ir vienāda ar 71,6 metriem. Zinot, ka ir iespējams noteikt jūsu apgabalu:

Platība = b * h ÷ 2

Platība = (71,6 m * 62 m) ÷ 2

Platība = 4,338,6 m2 ÷ 2

Platība = 2,219,3 m2

Perimetru nosaka tās trīs pušu summa:

P = sānu + sānu + sānu = 3 * l

P = 3*l

P = 3 * 71,6 m

P = 214,8 m.

Atsauces

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehniskais rasējums: darbības piezīmjdators.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
  3. Baldors, A. (1941). Algebra Havana: kultūra.
  4. BARBOSA, J. L. (2006). Plakana Eiklīda ģeometrija. SBM. Riodežaneiro, .
  5. Coxford, A. (1971). Ģeometrija A transformācijas pieeja. ASV: Laidlaw Brothers.
  6. Euclid, R. P. (1886). Eiklida ģeometrijas elementi.
  7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Ģeometrija un trigonometrija.
  8. León Fernández, G. S. (2007). Integrētā ģeometrija Metropolitan tehnoloģiskais institūts.
  9. Sullivan, J. (2006). Algebra un trigonometrija Pearson Education.