Binoma teorijas demonstrēšana un piemēri

The binoma teorēma ir vienādojums, kas mums parāda, kā veidot veidlapas izteiksmi (a + b)ⁿ par kādu dabisku numuru n. Binoms nav vairāk kā divu elementu summa, piemēram, (a + b). Tas arī ļauj mums uzzināt par a^kb^n-k kādi ir ar to saistītie koeficienti.

Šo teorēmu parasti attiecina uz angļu izgudrotāju, fiziķi un matemātiķi Siru Isaaku Ņūtonu; tomēr ir konstatēti vairāki ieraksti, kas liecina, ka Tuvajos Austrumos tā pastāvēšana jau bija zināma ap gadu 1000.

Indekss

• 1 kombinatoriskie numuri
• 2 Demonstrācija
• 3 Piemēri
  • 3.1 Identitāte 1
  • 3.2 Identitāte 2
• 4 Vēl viena demonstrācija
  • 4.1 Demonstrācija ar indukciju
• 5 Curiosities
• 6 Atsauces

Kombinatoriskie numuri

Binomālais teorēma mums matemātiski norāda:

Šajā izteiksmē a un b ir reāli skaitļi un n ir dabisks skaitlis.

Pirms demonstrācijas demonstrēsim dažus pamatjēdzienus, kas ir nepieciešami.

Kombinatoriskais skaitlis vai n kombinācija n ir izteikts šādi:

Šī veidlapa izsaka vērtību, cik daudz apakšgrupu ar k elementiem var izvēlēties no n elementu kopas. Tās algebrisko izteiksmi sniedz:

Redzēsim piemēru: pieņemsim, ka mums ir septiņu bumbiņu grupa, no kurām divas ir sarkanas un pārējās ir zilas.

Mēs vēlamies uzzināt, cik daudz veidu mēs varam tos pasūtīt pēc kārtas. Viens no veidiem varētu būt divu sarkano vietu novietošana pirmajā un otrajā pozīcijā un pārējās bumbas atlikušajās pozīcijās.

Līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā, mēs varējām dot sarkanās bumbas attiecīgi pirmajai un pēdējai pozīcijai un aizņemt citus ar zilām bumbiņām.

Tagad ir efektīvs veids, kā saskaitīt, cik daudz veidu mēs varam pasūtīt bumbas pēc kārtas, izmantojot kombinatoriskos numurus. Mēs varam redzēt katru pozīciju kā šādas kopas elementu:

Tālāk ir jāizvēlas tikai divu elementu apakškopa, kurā katrs no šiem elementiem attēlo sarkano bumbiņu ieņemamo pozīciju. Mēs varam izdarīt šo izvēli atbilstoši attiecībām, ko sniedz:

Šādā veidā mums ir 21 veids, kā šķirot šādas bumbiņas.

Šī parauga vispārējā ideja būs ļoti noderīga, lai demonstrētu binomisko teorēmu. Apskatīsim konkrētu gadījumu: ja n = 4, mums ir (a + b)⁴, kas nav nekas vairāk kā:

Izstrādājot šo produktu, mums ir to noteikumu summa, kas iegūti, reizinot katra no četriem faktoriem (a + b). Tādējādi mums būs noteikumi, kas būs formā:

Ja mēs gribējām saņemt veidlapas termiņu⁴, vienkārši reiziniet šādi:

Ņemiet vērā, ka ir tikai viens veids, kā iegūt šo elementu; bet kas notiek, ja mēs tagad meklējam veidlapas termiņu²b²? Tā kā "a" un "b" ir reāli skaitļi un līdz ar to komutatīvais likums ir spēkā, mums ir veids, kā iegūt šo terminu, lai vairotos ar biedriem, kā norādīts bultiņām.

Visu šo darbību veikšana parasti ir nedaudz nogurdinoša, bet, ja mēs redzam terminu "a" kā kombināciju, kurā mēs vēlamies uzzināt, cik daudz veidu mēs varam izvēlēties divus "a" no četru faktoru kopuma, mēs varam izmantot iepriekšējā piemēra ideju. Tātad, mums ir:

Tātad, mēs zinām, ka izteiksmes galīgajā izstrādē (a + b)⁴ mums būs tieši 6a²b². Izmantojot to pašu ideju citiem elementiem, jums ir:

Tad mēs pievienojam iepriekš iegūtās izteiksmes un mums ir:

Tā ir oficiāla demonstrācija vispārējam gadījumam, kad "n" ir jebkurš dabisks skaitlis.

Demonstrācija

Ņemiet vērā, ka noteikumi, kas paliek, izstrādājot (a + b)ⁿ ir no formas^kb^n-k, kur k = 0,1, ..., n. Izmantojot iepriekšējo piemēru, mēs varam izvēlēties "k" mainīgos "a" no "n" faktoriem:

Izvēloties šādā veidā, mēs automātiski izvēlamies n-k mainīgos lielumus "b". No tā izriet, ka:

Piemēri

Ņemot vērā (a + b)⁵, Kāda būtu tās attīstība?

Ar binomālo teorēmu mums ir:

Binomālais teorēma ir ļoti noderīga, ja mums ir izteiksme, kurā mēs vēlamies zināt, kāda ir konkrētā termina koeficients, neveicot pilnīgu attīstību. Kā piemēru varam uzdot šādu jautājumu: kāds ir koeficients x⁷un⁹ attīstot (x + y)¹⁶?

Ar binomālo teorēmu mums ir, ka koeficients ir:

Vēl viens piemērs būtu: kāds ir koeficients x⁵un⁸ izstrādājot (3x-7y)¹³?

Vispirms mēs pārrakstām izteiksmi ērtā veidā; tas ir:

Tad, izmantojot binomālo teorēmu, mums ir, ka vēlamais koeficients ir tad, kad mums ir k = 5

Vēl viens šīs teorēmas izmantošanas piemērs ir dažu kopīgu identitāšu demonstrēšana, piemēram, zemāk minētās.

Identitāte 1

Ja "n" ir dabisks numurs, mums ir:

Demonstrācijai mēs izmantojam binomālo teorēmu, kur gan "a", gan "b" ņem vērtību 1. Tad mums ir:

Tādā veidā mēs esam pierādījuši pirmo identitāti.

Identitāte 2

Ja "n" ir dabisks skaitlis, tad

Ar binomālo teorēmu mums ir:

Vēl viena demonstrācija

Mēs varam veikt atšķirīgu demonstrāciju binomijas teoremam, izmantojot induktīvo metodi un pascal identitāti, kas mums norāda, ka, ja "n" un "k" ir pozitīvi veseli skaitļi, kas atbilst n ≥ k, tad:

Demonstrēšana ar indukciju

Vispirms pieņemsim, ka induktīvā bāze ir izpildīta. Ja n = 1, mums ir:

Patiešām, mēs redzam, ka tas ir izpildīts. Tagad, ļaujiet n = j, ka tas ir izpildīts:

Mēs vēlamies redzēt, ka n = j + 1 ir izpildīts, ka:

Tātad, mums ir:

Pēc hipotēzes mēs zinām, ka:

Pēc tam, izmantojot izplatīšanas īpašumu:

Pēc tam, izstrādājot katru no summām, mums ir:

Tagad, ja mēs grupējam kopā ērtā veidā, mums ir:

Izmantojot pascal identitāti, mums ir:

Visbeidzot, ņemiet vērā, ka:

Tāpēc mēs redzam, ka binomālais teorēma ir izpildīta visiem "n", kas pieder dabiskajam skaitlim, un ar to beidzas testa rezultāts..

Interesences

Kombinatorisko numuru (nk) sauc arī par binomisko koeficientu, jo tieši binomijas (a + b) attīstībā parādās koeficients.ⁿ.

Isaac Newton sniedza šo teorēmu vispārinājumu gadījumam, kad eksponents ir reāls skaitlis; šo teorēmu sauc par Ņūtona binomālo teorēmu.

Jau senatnē šis rezultāts bija zināms par konkrēto gadījumu, kad n = 2. Šis gadījums ir minēts Elementi no Euclides.

Atsauces

1. Johnsonbaugh Richard. Diskrētā matemātika PHH
2. Kenneth.H. Rosen Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Diskrētā matemātika. McGRAW-HILL.
4. Ralph P. Grimaldi. Diskrētā un kombinētā matemātika. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Diskrētā matemātika un kombinatori