Varignona teorijas piemēri un atrisinātās vingrinājumi



The Varignona teorēma konstatē, ka, ja jebkurā kvadrātveida pusē visi punkti tiek nepārtraukti savienoti ar sāniem, tiek veidota paralelogramma. Šo teorēmu formulēja Pierre Varignon un publicēja 1731. gadā grāmatā Matemātikas elementi".

Grāmatas publicēšana notika gadus pēc viņa nāves. Tā kā Varignons bija tas, kurš iepazīstināja ar šo teorēmu, paralēli tas tiek nosaukts viņa vārdā. Teorēma ir balstīta uz eiklīda ģeometriju un uzrāda kvadrātveida ģeometriskās attiecības.

Indekss

  • 1 Kas ir Varignon teorēma??
  • 2 Piemēri
    • 2.1 Pirmais piemērs
    • 2.2 Otrais piemērs
  • 3 Risinājumi atrisināti
    • 3.1. 1. uzdevums
    • 3.2. 2. uzdevums
    • 3.3. 3. uzdevums
  • 4 Atsauces

Kas ir Varignon teorēma??

Varignons apgalvoja, ka skaitlis, ko nosaka četrstūra viduspunkti, vienmēr novedīs pie paralelogrammas, un tās platība vienmēr būs puse no kvadrāta laukuma, ja tā ir plakana un izliekta. Piemēram:

Attēlā redzams četrstūris ar apgabalu X, kur sānu viduspunkti ir E, F, G un H, un, kad tie ir savienoti, veido paralelogramu. Četrstūris būs izveidoto trīsstūri, un puse no tā atbilst paralelogrammas laukumam..

Tā kā paralelogrammas platība ir puse no četrstūra laukuma, var noteikt šīs paralelogrammas perimetru.

Tādējādi perimetrs ir vienāds ar četrstūra diagonālo garumu summu; tas ir tāpēc, ka četrstūra vidējā būs paralelogrammas diagonāli.

No otras puses, ja četrstūra diagonālu garumi ir tieši tādi paši, paralelogramma būs dimants. Piemēram:

No šī attēla redzams, ka, savienojot četrstūra malas viduspunktus, tiek iegūts rombs. No otras puses, ja četrstūra diagonāli ir perpendikulāri, paralelogramma būs taisnstūris.

Arī paralelogramma būs kvadrāts, kad četrstūrim ir vienāda garuma diagonāli un arī perpendikulāri.

Teorēma ir ne tikai izpildīta plakanos kvadrātu veidos, bet arī īstenota telpiskā ģeometrijā vai lielos izmēros; tas ir, četrstūrveida, kas nav izliekti. Tā piemērs var būt oktahedrons, kur viduspunkti ir katras sejas centri un veido paralēlskaldni..

Tādā veidā, savienojot dažādu figūru viduspunktus, var iegūt paralelogrammas. Vienkāršs veids, kā pārbaudīt, vai tas patiešām ir taisnība, ir tas, ka pretējām pusēm ir jābūt paralēlām, kad tās ir pagarinātas.

Piemēri

Pirmais piemērs

Pretējās puses pagarināšana, lai parādītu, ka tā ir paralelogramma:

Otrais piemērs

Pievienojoties dimanta viduspunktiem, iegūstam taisnstūri:

Šo teorēmu izmanto tādu punktu savienojumā, kas atrodas četrstūra malas vidū, un to var izmantot arī cita veida punktiem, piemēram, trīsdimensiju, penta-sekciju vai pat bezgalīgu skaitu sekciju ( nth), lai sadalītu jebkura četrstūra malas proporcionālos segmentos.

Atrisinātās mācības

1. uzdevums

Šajā attēlā ir kvadrātveida ABCD zona Z, kur šīs puses sānu viduspunkti ir PQSR. Pārbaudiet, vai ir izveidots Varignon paralelograms.

Risinājums

Var pārbaudīt, ka, pievienojoties PQSR punktiem, tiek veidota Varignona paralelogramma, tieši tāpēc, ka paziņojumā tiek doti kvadrātveida puspunkti..

Lai to pierādītu, viduspunkti PQSR ir vienoti, tāpēc var redzēt, ka ir izveidojies cits četrstūris. Lai parādītu, ka tā ir paralelogramma, jums vienkārši jāizvelk taisna līnija no punkta C līdz punktam A, lai jūs varētu redzēt, ka CA ir paralēla PQ un RS.

Līdzīgi, paplašinot PQRS puses, var atzīmēt, ka PQ un RS ir paralēli, kā parādīts šādā attēlā:

2. uzdevums

Tajā ir taisnstūris, kura garums ir vienāds. Savienojot šo sānu viduspunktus, tiek veidots rombs ABCD, kas dalīts ar diviem diagonāliem AC = 7cm un BD = 10cm, kas sakrīt ar taisnstūra malām. Nosakiet dimanta un taisnstūra laukumus.

Risinājums

Atceroties, ka iegūtas paralelogrammas platība ir puse no četrstūra, jūs varat noteikt šo zonu laukumu, zinot, ka diagonāles izmērs sakrīt ar taisnstūra malām. Tātad jums ir:

AB = D

CD = d

Ataisnstūris = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Arombs = A taisnstūris / 2

Arombs = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

3. uzdevums

Šajā attēlā ir četrstūris, kas savieno punktus EFGH, norādīti segmentu garumi. Noteikt, vai EFGH savienība ir paralelogramma.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2.24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

Risinājums

Ņemot vērā segmentu garumu, ir iespējams pārbaudīt, vai starp segmentiem ir proporcionalitāte; tas ir, mēs varam zināt, vai tie ir paralēli, četrstūra segmentus saistot šādi:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Tad tiek pārbaudīta proporcionalitāte, jo:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Līdzīgi, uzzīmējot līniju no punkta B līdz punktam D, redzam, ka EH ir paralēls BD, tāpat kā BD ir paralēls FG. No otras puses, EF ir paralēla GH.

Tādā veidā var noteikt, ka EFGH ir paralelogramma, jo pretējās puses ir paralēlas.

Atsauces

  1. Andres, T. (2010). Matemātikas olimpiāde Tresure. Springer. Ņujorka.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Plakana Eiklīda ģeometrija. SBM. Riodežaneiro.
  3. Howar, E. (1969). Ģeometrijas izpēte. Meksika: spāņu - amerikāņu.
  4. Ramo, G. P. (1998). Nav zināmi Fermat-Torricelli problēmu risinājumi. ISBN - Neatkarīgs darbs.
  5. Vera, F. (1943). Ģeometrijas elementi. Bogota.
  6. Villiers, M. (1996). Daži Eiklīda ģeometrijas piedzīvojumi. Dienvidāfrika.