Pirmā, otrā un piemēra Thalesta teorētiskā teorija



Pirmais un otrais Milāles Thales teorēma tie ir balstīti uz trijstūru noteikšanu no citiem līdzīgiem (pirmais teorēma) vai apkārtmēriem (otrais teorēma). Tie ir bijuši ļoti noderīgi dažādās jomās. Piemēram, pirmais teorēma izrādījās ļoti noderīga lielo struktūru mērīšanai, kad nebija sarežģītu mērinstrumentu.

Milāles Thales bija grieķu matemātiķis, kas sniedza lielu ieguldījumu ģeometrijā, no kuriem šie divi teorēmas izceļas (dažos tekstos tie arī raksta kā Thales) un to noderīgās lietojumprogrammas. Šie rezultāti ir izmantoti visā vēsturē un ļāvuši atrisināt dažādas ģeometriskās problēmas.

Indekss

  • 1 Pirmais pasakas teorēma
    • 1.1
    • 1.2 Piemēri
  • 2 Tales otrais teorēma
    • 2.1
    • 2.2 Piemērs
  • 3 Atsauces

Tales pirmais teorēma

Tales pirmais teorēma ir ļoti noderīgs instruments, kas, cita starpā, ļauj veidot līdzīgu trīsstūri, kas ir iepriekš zināms. No šejienes iegūstiet dažādas teorēmas versijas, kuras var pielietot vairākos kontekstos.

Pirms paziņojuma sniegšanas atcerieties dažus jēdzienus par trijstūru līdzību. Būtībā divi trīsstūri ir līdzīgi, ja to leņķi ir vienādi (tiem ir viens un tas pats pasākums). Tas izraisa faktu, ka, ja divi trijstūri ir līdzīgi, to attiecīgās puses (vai homologi) ir proporcionālas.

Pirmais Thales teorēma norāda, ka, ja kādā trijstūrī taisnā līnija tiek novilkta paralēli jebkurai tās malai, tad iegūtais jaunais trijstūris būs līdzīgs sākotnējam trijstūrim.

Jūs arī saņemat saikni starp veidotajiem leņķiem, kā redzams nākamajā attēlā.

Pieteikums

Viens no daudzajiem lietojumiem izceļas ar īpašu interesi un ir saistīts ar vienu no veidiem, kā tika veiktas lielas struktūras senatnē, kad Thales dzīvoja un kurā nebija pieejamas mūsdienīgas mērīšanas ierīces. tie pastāv tagad.

Ir teikts, ka tas bija tāds, kā Thales spēja izmērīt augstāko piramīdu Ēģiptē, Cheops. Šim nolūkam Thales uzskatīja, ka saules staru atstarojumi pieskārās zemei, veidojot paralēlas līnijas. Saskaņā ar šo pieņēmumu viņš vertikāli iestrēdzis stienīti vai niedru zemē.

Tad viņš izmantoja abu iegūto trijstūru līdzību, ko veidoja piramīdas ēnas (ko var viegli aprēķināt) garums un piramīdas augstums (nezināms), bet otrs veidojas no ēnas garuma. un stieņa augstums (ko var arī viegli aprēķināt).

Izmantojot proporciju starp šiem garumiem, jūs varat iztīrīt un zināt piramīdas augstumu.

Lai gan šī mērīšanas metode var dot būtisku kļūdu tuvināšanas ziņā attiecībā uz augstuma precizitāti un ir atkarīga no saules staru paralēles (kas savukārt ir atkarīga no precīzas laika), mums jāatzīst, ka tā ir ļoti radoša ideja un kas nodrošināja labu mērīšanas alternatīvu šim laikam.

Piemēri

Katrā gadījumā atrast x vērtību:

Risinājums

Šeit ir divas līnijas, kas sagriež divas paralēlas līnijas. Pirmajā Thales teorijā ir noteikts, ka viņu attiecīgās puses ir proporcionālas. Jo īpaši:

Risinājums

Šeit mums ir divi trijstūri, viens no tiem ir veidots no segmenta, kas ir paralēls vienam no otras puses (tieši garuma x puse). Ar pirmo Pasakas teorēmu jums ir:

Otro pasaku teoriju

Otrais Thales teorēma nosaka pareizo trijstūri, kas uzrakstīts uz apkārtmēru katrā tā paša punkta punktā.

Trīsstūris, kas apzīmēts ar apkārtmēru, ir trijstūris, kura virsotnes ir apkārtmērā, tādējādi ietverot to.

Konkrētāk, Thales otrajā teorijā teikts: ņemot vērā centra O un diametra AC apli, katrs perimetra B punkts (izņemot A un C) nosaka labo trijstūri ABC ar taisnu leņķi

Pamatojot, ņemiet vērā, ka gan OA, gan OB un OC atbilst apkārtnes rādiusam; tāpēc to mērījumi ir vienādi. No turienes iegūst, ka trijstūri OAB un OCB ir vienādsānu, kur

Ir zināms, ka trijstūra leņķu summa ir vienāda ar 180º. Izmantojot šo ar ABC trijstūri, jums ir:

2b + 2a = 180º.

Līdzīgi, mums ir tas, ka b + a = 90º un b + a =

Ņemiet vērā, ka labais trīsstūris, ko nodrošina Thales otrais teorēma, ir tieši tas, kura hipotenuse ir vienāda ar apkārtmērs. Tāpēc to pilnībā nosaka pusloks, kas satur trijstūra punktus; šajā gadījumā augšējais pusaplis.

Ņemiet vērā arī to, ka labajā trijstūrī, ko iegūst, izmantojot Thales otro teorēmu, hipotenuse ir sadalīta divās vienādās daļās ar OA un OC (rādiuss). Savukārt šis pasākums ir vienāds ar segmentu OB (arī rādiusu), kas atbilst trijstūra ABC vidējai vērtībai B.

Citiem vārdiem sakot, labā trijstūra ABC vidējais garums, kas atbilst virsotnei B, ir pilnībā noteikts ar pusi hipotenusa. Atgādiniet, ka trijstūra mediāns ir segments no viena virsotnes līdz pretējās puses viduspunktam; šajā gadījumā BO segments.

Ierobežots apkārtmērs

Vēl viens veids, kā redzēt Thales otro teorēmu, ir pa apli, kas apzīmēts ar labo trijstūri.

Kopumā aplis, kas apzīmēts ar daudzstūri, sastāv no perimetra, kas iet caur katru tā virsotni, kad vien iespējams to izsekot.

Izmantojot otro Thales teorēmu, ņemot vērā pareizo trijstūri, mēs vienmēr varam konstruēt apkārtmēru, kas to ierobežo ar rādiusu, kas vienāds ar pusi no hipotenusa un apkārtmērs (apkārtmēras centrs), kas ir vienāds ar hipotenusa viduspunktu..

Pieteikums

Ļoti svarīgs otrā Tales teorēma un, iespējams, visbiežāk izmantotais, pielietojums ir atrast tangentās līnijas noteiktam apkārtmēram ar punktu P, kas ir ārpus šī (zināms).

Ievērojiet, ka, ņemot vērā apkārtmēru (zīmējumā zemāk attēlā zilā krāsā) un ārējo punktu P, ir divas līnijas, kas pieskaras apkārtmēram, kas šķērso P. Ļauj T un T 'būt pieskares punktiem, r apļa rādiusam un Vai arī centrs.

Ir zināms, ka segments, kas iet no apļa centra līdz tā pieskares punktam, ir perpendikulārs šai pieskares līnijai. Tad OTP leņķis ir taisns.

No tā, ko mēs iepriekš redzējām Thales pirmajā teoremā un dažādās versijās, mēs redzam, ka OTP trijstūri var ierakstīt citā apkārtmērā (sarkanā krāsā).

Līdzīgi iegūst, ka OT'P trijstūris var tikt ierakstīts tajā pašā iepriekšējā apkārtmērā.

Ar Thales otro teorēmu mēs iegūstam arī to, ka šī jaunā perimetra diametrs ir tieši OTP trijstūra hipotenēze (kas ir vienāds ar OT'P trijstūra hipotenusu), un centrs ir šī hipotenusa viduspunkts..

Lai aprēķinātu jaunā perimetra centru, ir pietiekami aprēķināt viduspunktu starp centru - teiksim M - sākotnējo apkārtmēru (ko mēs jau zinām) un punktu P (ko mēs zinām arī). Tad rādiuss būs attālums starp šo punktu M un P.

Ar sarkanā apļa rādiusu un centru varam atrast Karteses vienādojumu, ko mēs atceramies, ko sniedz (x-h)2 + (y-k)2 = c2, kur c ir rādiuss un punkts (h, k) ir apļa centrs.

Tagad apzinoties abu apkārtmēru vienādojumus, mēs varam krustot tos, risinot ar tiem veidoto vienādojumu sistēmu, tādējādi iegūstot tangences T un T punktus. Visbeidzot, lai uzzinātu vēlamās pieskares līnijas, pietiek atrast taisnās līnijas vienādojumu, kas iet caur T un P, un T 'un P.

Piemērs

Apsveriet diametra AC, O centra un 1 cm rādiusu. Ļaujiet B būt punktam, kas ir tāds, ka AB = AC. Cik daudz AB?

Risinājums

Ar Thales otro teorēmu mums ir, ka trijstūris ABC ir taisnstūris, un hipotenuse atbilst diametram, kas šajā gadījumā ir 2 cm (rādiuss ir 1 cm). Pēc tam ar Pitagora teorēmu mums ir:

Atsauces

  1. Ana Lira, P. J. (2006). Ģeometrija un trigonometrija. Zapopan, Jalisco: sliekšņa izdevumi.
  2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
  3. Gutiérrez, Á. Á. (2004). Matemātikas metodoloģija un pielietojums E.S.O. Izglītības ministrija.
  4. IGER. (2014). Matemātika Otrais semestris Zaculeu. Gvatemala: IGER.
  5. José Jiménez, L. J. (2006). Matemātika 2. Zapopan, Jalisco: sliekšņa izdevumi.
  6. M., S. (1997). Trigonometrija un analītiskā ģeometrija. Pearson Education.
  7. Pérez, M. A. (2009). Matemātikas vēsture: izaicinājumi un uzvaras ar to rakstzīmēm. Redakcijas vīzijas grāmatas.
  8. Vilorija, N., & Leal, J. (2005). Plakanā analītiskā ģeometrija. Venecuēlas Redakcija C. A.