Moivra teorija par to, kas sastāv, demonstrēšana un atrisinātas vingrinājumi

The Moivra teorēma piemēro algebras pamatprocesus, piemēram, pilnvaras un sakņu ieguvi kompleksos skaitļos. Šo teorēmu noteica slavens franču matemātiķis Abraham de Moivre (1730), kurš saista kompleksus numurus ar trigonometriju.

Abraham Moivre šo asociāciju veidoja ar krūšu un kosinijas izpausmēm. Šis matemātiķis radīja tādu formulu, ar kuras palīdzību ir iespējams paaugstināt komplekso numuru z pie jaudas n, kas ir pozitīvs vesels skaitlis, kas ir lielāks vai vienāds ar 1.

Indekss

• 1 Kas ir Moivre teorēma??
• 2 Demonstrācija
  • 2.1 Induktīvā bāze
  • 2.2 Induktīvā hipotēze
  • 2.3 Pārbaude
  • 2.4 Negatīvs vesels skaitlis
• 3 Risinājumi atrisināti
  • 3.1. Pozitīvo pilnvaru aprēķināšana
  • 3.2. Negatīvo pilnvaru aprēķināšana
• 4 Atsauces

Kas ir Moivre teorēma??

Moivra teorēma norāda:

Ja jums ir kompleksa numurs polārajā formā z = r_Ɵ, kur r ir kompleksa skaita z modulis, un leņķis Ɵ tiek saukts par jebkura kompleksa numura amplitūdu vai argumentu ar 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, lai aprēķinātu tās n. jaudu, tas nav nepieciešams reizināt to pats n-reizes; tas ir, nav nepieciešams veikt šādu produktu:

Zⁿ = z _* z _* z_{* ... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ * ... *} r_Ɵ   n-reizes.

Gluži pretēji, teorēma saka, ka, rakstot z tās trigonometriskā formā, lai aprēķinātu n-to jaudu, mēs rīkojamies šādi:

Ja z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), tad zⁿ = rⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Piemēram, ja n = 2, tad z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Ja jums ir tas n = 3, tad z³ = z² _* z. Turklāt:

z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (Ɵ) + i sin 3 (Ɵ)].

Tādā veidā sinusa un kosīna trigonometriskās attiecības var iegūt leņķa daudzkārtnēm, kamēr ir zināmi leņķa trigonometriskie rādītāji..

Tādā pašā veidā to var izmantot, lai atrastu precīzākus un mazāk mulsinošus izteiksmes kompleksa n zīmei n, lai zⁿ = 1.

Lai demonstrētu Moivre teorēmu, tiek izmantots matemātiskās indukcijas princips: ja veselam skaitlim "a" ir īpašums "P", un, ja kāds vesels skaitlis "n" ir lielāks par "a", kam ir īpašums "P", tas ir apmierina, ka n + 1 ir arī īpašums "P", tad visiem veselajiem skaitļiem, kas ir lielāki vai vienādi ar "a", ir īpašums "P".

Demonstrācija

Tādējādi teorēmas pierādījums tiek veikts ar šādām darbībām:

Induktīvā bāze

Pirmā pārbaude attiecībā uz n = 1.

Tāpat kā z¹ = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))¹ = r¹ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* sen (1_* Ɵ)], mums ir tas, ka n = 1 teorēma ir izpildīta.

Induktīvā hipotēze

Tiek pieņemts, ka formula atbilst dažiem pozitīviem veseliem skaitļiem, ti, n = k.

z^k = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^k  = r^k (cos k Ɵ + i _* sen k Ɵ).

Pārbaude

Ir pierādīts, ka tā ir n = k + 1.

Tāpat kā z^{k + 1}= z^k _* z, tad z^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sen Ɵ))^{k + 1} = r^k (cos kƟ + i _* sen kƟ) _*  r (cos Ɵ + i_* senƟ).

Tad izteiksmes reizinās:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(i_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(i_* senƟ)).

Uz brīdi r faktors tiek ignorēts^{k + 1},  un kopējais faktors i ir noņemts:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(senƟ).

Kā es² = -1, mēs to aizvietojam izteiksmē un saņemam:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(senƟ).

Tagad reālā un iedomātā daļa tiek pasūtīta:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(senƟ)].

Lai vienkāršotu izteiksmi, tiek pielietoti kosinīna un sinusa leņķu summa trigonometriskās identitātes, kas ir:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

sen (A + B) = grēks A _* cos B - cos A _* cos B.

Šajā gadījumā mainīgie ir leņķi Ɵ un kƟ. Izmantojot trigonometriskās identitātes, mums ir:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

Šādā veidā izteiksme paliek:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k + 1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

Tādējādi var pierādīt, ka rezultāts ir taisnība n = k + 1. Ar matemātiskās indukcijas principu tiek secināts, ka rezultāts attiecas uz visiem pozitīvajiem veselajiem skaitļiem; tas ir, n ≥ 1.

Integer negatīvs

Moivra teorēmu piemēro arī tad, ja n ≤ 0. Apsveriet negatīvu veselu skaitli "n"; tad "n" var rakstīt kā "-m", tas ir, n = -m, kur "m" ir pozitīvs vesels skaitlis. Tāpēc:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^-m

Lai iegūtu eksponentu "m" pozitīvā veidā, izteiksme tiek rakstīta pretēji:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sen Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Tagad tiek izmantots, ka, ja z = a + b * i ir kompleksa numurs, tad 1 ÷ z = a-b * i. Tāpēc:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Izmantojot cos (x) = cos (-x) un ka -sen (x) = sin (-x), mums ir:

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = [cos (mƟ) - i _* sen (mƟ)]

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sen Ɵ)ⁿ = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

Tādā veidā mēs varam teikt, ka teorēma attiecas uz visām "n" skaitļu vērtībām..

Atrisinātās mācības

Pozitīvo pilnvaru aprēķināšana

Viena no operācijām ar sarežģītiem skaitļiem polārajā formā ir reizināšana starp diviem no tiem; tādā gadījumā moduļi tiek reizināti un argumenti tiek pievienoti.

Ja jums ir divi sarežģīti numuri z₁ un z₂ un jūs vēlaties aprēķināt (z₁* z₂)², Tad mēs rīkojamies šādi:

z₁z₂ = [r₁ (cos Ɵ.)₁ + i _* sen Ɵ₁)] * [r₂ (cos Ɵ.)₂ + i _* sen Ɵ₂)]

Tiek piemērots izplatīšanas īpašums:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos Ɵ.)_{1 *} cos Ɵ₂ + i _* cos Ɵ_{1 *} i _* sen Ɵ₂ + i _* sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂).

Tie ir sagrupēti, izmantojot terminu "i" kā kopīgu izteiksmju faktoru:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Kā es² = -1, izteiksmē tiek aizstāts:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂) - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂]

Reālie termini tiek pārgrupēti ar reāliem un iedomātiem ar iedomātu:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - sen Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂) + i (cos Ɵ_{1 *} sen Ɵ₂ + sen Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂)]

Visbeidzot, tiek pielietotas trigonometriskās īpašības:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

Noslēgumā:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ + Ɵ₂)])²

= R₁²r₂²[cos 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (Ɵ₁ + Ɵ₂)].

1. uzdevums

Uzrakstiet kompleksa numuru polārajā formā, ja z = - 2 -2i. Tad, izmantojot Moivre teorēmu, aprēķiniet z⁴.

Risinājums

Kompleksa numurs z = -2 -2i ir izteikts taisnstūra formā z = a + bi, kur:

a = -2.

b = -2.

Zinot, ka polārā forma ir z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), jums ir nepieciešams noteikt "r" moduļa vērtību un argumenta "Ɵ" vērtību. Kā r = √ (a² + b²), norādītās vērtības tiek aizstātas:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Tad, lai noteiktu "Ɵ" vērtību, tiek pielietota tā taisnstūra forma, ko dod formula:

tan Ɵ = b ÷ a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Kā iedegums (Ɵ) = 1 un jums ir<0, entonces se tiene que:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Tā kā "r" un "Ɵ" vērtība jau tika iegūta, kompleksu skaits z = -2 -2i var tikt izteikts polārajā formā, aizstājot vērtības:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Tagad Moivre teorēmu izmanto, lai aprēķinātu z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sen (5Π)).

2. uzdevums

Atrodiet komplekso numuru produktu, izsakot to polārajā formā:

z1 = 4 (cos 50^o + i_* 50 sen^o)

z2 = 7 (cos 100. \ T^o + i_* 100 sen^o).

Tad aprēķiniet (z1 * z2) ².

Risinājums

Vispirms veidojas norādīto numuru produkts:

z₁ z₂ = [4 (cos 50)^o + i_* 50 sen^o)] * [7 (cos 100)^o + i_* 100 sen^o)]

Tad reiziniet moduļus kopā un pievienojiet argumentus:

z₁ z₂ = (4. \ T _* 7)_* [cos (50. \ t^o + 100^o) + i_* sen (50^o + 100^o)]

Vārds ir vienkāršots:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o).

Visbeidzot, tiek piemērots Moivre teorēma:

(z1 * z2) ² = (28. \ t _* (cos 150^o + (i_* 150 sen^o)) ² = 784 (cos 300)^o + (i_* 300 sen^o)).

Negatīvo pilnvaru aprēķināšana

Lai sadalītu divus sarežģītus numurus z₁ un z₂ polārajā formā modulis ir sadalīts un argumenti tiek atņemti. Tādējādi koeficients ir z₁ ÷ z₂ un to izsaka šādi:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- Ɵ₂) + i sen (Ɵ₁ - Ɵ₂)]).

Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, ja vēlaties aprēķināt (z1 ÷ z2) ³, vispirms tiek veikts sadalījums un tad tiek izmantots Moivre teorēma.

3. uzdevums

Ņemot vērā:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

aprēķināt (z1 ÷ z2) ³.

Risinājums

Ievērojot iepriekš aprakstītās darbības, var secināt, ka:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Atsauces

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). No Moivras teorijas par Trig identitātēm. Wolfram demonstrējumu projekts.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matemātikas enciklopēdija.
4. Max Peters, W. L. (1972). Algebra un trigonometrija.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Lineārā algebra Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus Pearson Education.