Eiklida ģeometrijas teorēmu formulas, demonstrēšana, pielietojums un vingrinājumi



The Eiklidaida teorēma demonstrē labā trijstūra īpašības, zīmējot līniju, kas to sadala divos jaunos labajos trīsstūros, kas ir līdzīgi viens otram un, savukārt, ir līdzīgi sākotnējam trijstūrim; tad pastāv saikne ar proporcionalitāti.

Eiklida ģeometrija bija viens no lielākajiem senās laikmeta matemātiķiem un ģeometriem, kas demonstrēja vairākas svarīgas teorēmas. Viena no galvenajām ir tā, kurai ir viņa vārds, kam ir plaša pielietošana.

Tas tā ir tāpēc, ka, izmantojot šo teorēmu, tas vienkāršā veidā izskaidro ģeometriskās attiecības, kas pastāv pareizajā trijstūrī, kur tās kājas ir saistītas ar to projekcijām hipotenē..

Indekss

  • 1 Formulas un demonstrējumi
    • 1.1 Augstuma teorēma
    • 1.2 Kāju teorēma
  • 2 Saistība starp Eiklidaida teorēmu
  • 3 Risinājumi atrisināti
    • 3.1 1. piemērs
    • 3.2. 2. piemērs
  • 4 Atsauces

Formulas un demonstrējumi

Eiklidaida teorēma ierosina, ka katrā labajā trijstūrī, kad tiek veidota līnija, kas atbilst augstumam, kas atbilst taisnā leņķa virsotnei attiecībā pret hipotenūzi, no oriģināla veidojas divi labie trīsstūri..

Šie trijstūri būs līdzīgi viens otram un arī būs līdzīgi sākotnējam trijstūrim, kas nozīmē, ka to līdzīgās puses ir savstarpēji proporcionālas:

Trīs trijstūru leņķi ir vienādi; tas nozīmē, ka, pagriežot to par 180 grādiem uz tā virsotnes, leņķis sakrīt ar otru. Tas nozīmē, ka visi būs vienādi.

Tādā veidā jūs varat arī pārbaudīt līdzību, kas pastāv starp trim trijstūriem, pēc to leņķa vienlīdzības. No trijstūru līdzības Euklīds nosaka to proporcijas no diviem teorēmiem:

- Augstuma teorēma.

- Kāju teorēma.

Šim teoremam ir plašs pielietojums. Senatnē tas tika izmantots, lai aprēķinātu augstumus vai attālumus, kas ir liels priekšnoteikums trigonometrijai.

Pašlaik to izmanto vairākās jomās, kas balstās uz matemātiku, piemēram, inženierzinātnēs, fizikā, ķīmijā un astronomijā, daudzās citās jomās..

Augstuma teorēma

Šis teorēma norāda, ka jebkurā labajā trijstūrī augstums, kas novilkts no pareizā leņķa attiecībā pret hipotenusu, ir ģeometriskais proporcionālais vidējais (augstuma kvadrāts) starp kāju projekcijām, kas nosaka hipotenusu..

Tas nozīmē, ka augstuma kvadrāts būs vienāds ar prognozēto kāju, kas veido hipotenusu, reizinājumu:

hc2 = m * n

Demonstrācija

Ņemot vērā ABC trīsstūri, kas ir taisnstūris virsotnē C, uzzīmējot augstumu, rodas divi līdzīgi labie trīsstūri, ADC un BCD; tādēļ to attiecīgās puses ir proporcionālas:

Tādā veidā, ka augstums hc kas atbilst segmenta kompaktdiskam, atbilst hipotenūcijai AB = c, tāpēc mums ir:

Savukārt tas atbilst:

Hipotenusa iztīrīšana (hc), lai vairotu abus vienlīdzības locekļus, jums ir:

hc * hc = m * n

hc2 = m * n

Tādējādi hipotensijas vērtību nosaka:

Kāju teorēma

Šis teorēma norāda, ka jebkurā labajā trijstūrī katras kājas izmērs būs ģeometriskais proporcionālais vidējais lielums (katras kājas kvadrāts) starp hipotenusa mērījumu (pabeigts) un katra tā projekciju:

b2 = c * m

a2 = c* n

Demonstrācija

Ņemot vērā trijstūri ABC, kas ir taisnstūris virsotnē C tā, ka tā hipotenēze ir c, kad tiek attēlots augstums (h), tiek noteiktas kāju a un b projekcijas, kas ir attiecīgi m un n segmenti. hipotenūze.

Tādējādi, mēs esam, ka augstums, kas izdarīts uz labā trijstūra ABC, rada divus līdzīgus labus trīsstūri, ADC un BCD, lai attiecīgās puses būtu proporcionālas, piemēram:

DB = n, kas ir CB kājas projekcija uz hipotenusa.

AD = m, kas ir katetra AC projekcija uz hipotensijas.

Pēc tam hipotensiju c nosaka tās projekciju pēdu summa:

c = m + n

Sakarā ar ADC un BCD trijstūru līdzību, mums ir:

Iepriekš minētais ir tāds pats kā:

Notīrot kāju "a", lai vairotu abus vienlīdzības locekļus, ir:

a * a = c * n

a2 = c * n

Tādējādi pēdas "a" vērtību norāda:

Līdzīgi, līdzīgi kā ACB un ADC trijstūri, mums ir:

Iepriekš minētais ir vienāds ar:

Notīrot kāju "b", lai vairotu abus vienlīdzības locekļus, ir:

b * b = c * m

b2 = c * m

Tādējādi kājas "b" vērtību norāda:

Saistība starp Eiklidaida teorēmu

Elementi, kas attiecas uz augstumu un kājām, ir saistīti viens ar otru, jo abu veidu mērījums ir attiecībā uz labā trijstūra hipotenusu.

Ar Eiklidaida teorēmu attiecību var atrast arī augstuma vērtību; tas ir iespējams, iztīrot m un n vērtības no kājas teorēmas un tās tiek aizstātas augstuma teorēmā. Tādā veidā augstums ir vienāds ar kāju reizināšanu, dalīts ar hipotenusu:

b2 = c * m

m = b2 ÷ c

a2 = c * n

n = a2 ÷ c

Augstuma teorijā m un n tiek aizstātas:

hc2 = m * n

hc2 = (b2 ÷ c) * (a2 ÷ c)

hc = (b2* a2) ÷ c

Atrisinātās mācības

1. piemērs

Ņemot vērā ABC trīsstūri, taisnstūris A, nosaka AC un AD mērījumu, ja AB = 30 cm un BD = 18 cm

Risinājums

Šādā gadījumā tiek mērīti viens no projicētajām kājām (BD) un viena no sākotnējā trijstūra (AB) kājām. Tādā veidā jūs varat piemērot kāju teorēmu, lai atrastu BC kājas vērtību.

AB2 = BD * BC

(30)2 = 18 * BC

900 = 18 * BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

CD katetes vērtību var atrast, zinot, ka BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Tagad ir iespējams noteikt cathetus AC vērtību, atkārtoti izmantojot kāju teorēmu:

AC2 = CD * BD

AC2 = 32 * 50

AC2 = 160

AC = 001600 = 40 cm

Lai noteiktu augstuma (AD) vērtību, tiek pielietots augstuma teorēma, jo ir zināmas projicēto kāju CD un BD vērtības:

AD2 = 32 * 18

AD2 = 576

AD = 76576

AD = 24 cm

2. piemērs

Nosakiet MNL trīsstūra augstuma (h) vērtību, kas ir taisnstūris N, zinot segmentu mērījumus:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Risinājums

Jums ir viena no kājām, kas projicētas uz hipotenusa (PM), kā arī sākotnējā trijstūra kāju mērījumi. Šādā veidā kājas teorēmu var izmantot, lai atrastu citas projekcijas kājas (LN) vērtību:

NL2 = PM * LM

(10)2 = 5 * LM

100 = 5 * LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Kā mēs jau zinām kāju un hipotenusa vērtību, salīdzinot augstuma un kāju teorēmas, augstuma vērtību var noteikt:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2* a2) ÷ c.

h = (10. \ t2* 52)  ÷ (20)

h = (100. \ t * 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Atsauces

  1. Braun, E. (2011). Haoss, fractals un dīvainas lietas. Ekonomiskās kultūras fonds.
  2. Cabrera, V. M. (1974). Modernā matemātika, 3. sējums.
  3. Daniel Hernandez, D. P. (2014). 3. gada matemātika Karakasa: Santillana.
  4. Encyclopaedia Britannica, i. (1995). Hispanic enciklopēdija: Macropedia. Encyclopedia Britannica Publishers.
  5. Euclid, R. P. (1886). Eiklida ģeometrijas elementi.
  6. Guardeño, A. J. (2000). Matemātikas mantojums: no Eiklida līdz Ņūtonai, ģēniji caur viņa grāmatām. Seviļas Universitāte.