Chebyshov teorēma, ko tas veido, lietojumprogrammas un piemēri



The Chebyshov teorēma (vai Chebyshov nevienlīdzība) ir viens no svarīgākajiem varbūtības teorijas klasiskajiem rezultātiem. Tas ļauj novērtēt notikuma varbūtību, kas aprakstīta ar nejaušu mainīgo lielumu X, sniedzot mums tādu dimensiju, kas nav atkarīga no nejaušā mainīgā lieluma sadalījuma, bet uz X dispersijas..

Teorēma ir nosaukta pēc Krievijas matemātiķa Pafnuty Chebyshov (arī rakstīts kā Chebychev vai Tchebycheff), kurš, neraugoties uz pirmo teoriju, bija pirmais, kas 1867. gadā sniedza demonstrāciju.

Šo nevienlīdzību vai tās, kuras pēc to īpašībām sauc par Chebyshov nevienlīdzību, galvenokārt izmanto, lai tuvinātu varbūtības, aprēķinot izmērus..

Indekss

  • 1 Ko tas veido??
  • 2 Lietojumprogrammas un piemēri
    • 2.1
    • 2.2. Ierobežojumu teorēmu demonstrēšana
    • 2.3 Parauga lielums
  • 3 Nevienlīdzība tipa Chebyshov
  • 4 Atsauces

Ko tas veido??

Varbūtības teorijas pētījumā notiek, ka, ja mēs zinām izlases lieluma X sadalījuma funkciju, mēs varam aprēķināt tās paredzamo vērtību - vai matemātisko cerību E (X) - un tā variāciju Var (X), ja vien minētās summas pastāv. Tomēr abpusējais nav obligāti.

Tas nozīmē, ka, zinot E (X) un Var (X), nav obligāti iespējams iegūt X sadalījuma funkciju, tāpēc dažiem k> 0 daudzumiem, piemēram, P (| X |> k), ir ļoti grūti iegūt. Bet, pateicoties Chebyshov nevienlīdzībai, ir iespējams novērtēt nejauša mainīgā varbūtību.

Chebyshov teorēma mums saka, ka, ja izlases laukumā S ir izlases lielums X ar varbūtības funkciju p, un, ja k> 0, tad:

Pieteikumi un piemēri

Starp daudzajiem lietojumiem, kas ir Chebyshov teorēmā, var minēt:

Varbūtību ierobežošana

Tas ir visizplatītākais pielietojums un tiek izmantots, lai iegūtu augšējo robežu P (| X-E (X) | ≥k), kur k> 0, tikai ar dispersijas un nejaušā mainīgā X cerībām, nezinot varbūtības funkciju.

1. piemērs

Pieņemsim, ka uzņēmumā ražoto produktu skaits nedēļas laikā ir nejaušs mainīgais ar vidēji 50%.

Ja mēs zinām, ka ražošanas nedēļas dispersija ir vienāda ar 25, tad ko mēs varam teikt par varbūtību, ka šajā nedēļā ražošana vidēji atšķirsies par vairāk nekā 10?

Risinājums

Piemērojot Chebyshov nevienlīdzību, mums ir:

No tā varam secināt, ka varbūtība, ka ražošanas nedēļā rakstu skaits pārsniedz vidējo rādītāju vairāk nekā 10, ir ne vairāk kā 1/4.

Limita teorēmu demonstrēšana

Čebisovas nevienlīdzība ir svarīga svarīgāko limita teorēmu demonstrēšanā. Kā piemēru mums ir:

Vāja likuma likums

Šis likums nosaka, ka neatkarīgu izlases mainīgo ar tādu pašu vidējo sadalījumu E (Xi) = μ un variansi Var (X) = σ secībai X1, X2, ..., Xn, ...2, un zināms vidējais paraugs:

Tad k> 0 jums ir:

Vai arī līdzvērtīgi:

Demonstrācija

Vispirms pamaniet:

Tā kā X1, X2, ..., Xn ir neatkarīgi, no tā izriet, ka:

Tāpēc ir iespējams apstiprināt:

Tad, izmantojot Chebyshov teorēmu, mums ir:

Visbeidzot, teorēma izriet no tā, ka robeža labajā pusē ir nulle, kad n mēdz būt bezgalība.

Jāatzīmē, ka šis tests tika veikts tikai gadījumā, kad pastāv Xi dispersija; tas ir, tas neatšķiras. Tādējādi mēs novērojam, ka teorēma vienmēr ir taisnība, ja pastāv E (Xi).

Chebyshov limita teorēma

Ja X1, X2, ..., Xn, ... ir neatkarīgu nejaušu mainīgo secība, tādi, ka ir daži C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

Demonstrācija

Tā kā variāciju secība ir vienmērīgi ierobežota, mums ir Var (Sn) ≤ C / n, visiem dabiskajiem n. Bet mēs zinām, ka:

Padarot n tendenci uz bezgalību, šādi rezultāti:

Tā kā varbūtība nevar pārsniegt vērtību 1, tiek iegūts vēlamais rezultāts. Šī teorēma rezultātā mēs varētu pieminēt konkrēto Bernulli gadījumu.

Ja eksperimentu atkārto n reizes neatkarīgi no diviem iespējamiem rezultātiem (neveiksme un panākumi), kur p ir katra eksperimenta panākumu varbūtība un X ir izlases mainīgais, kas pārstāv iegūto panākumu skaitu, tad katram k> 0 jums ir:

Parauga lielums

Runājot par dispersiju, Chebyshov nevienlīdzība ļauj mums atrast parauga lielumu n, kas ir pietiekams, lai garantētu, ka varbūtība, ka notiek | Sn-μ |> = k, ir tikpat maza kā vēlams, kas ļauj mums tuvināt vidēji.

Precīzāk, ļaujiet X1, X2, ... Xn būt neatkarīga nejauša lieluma n lieluma paraugam un pieņemsim, ka E (Xi) = μ un tā variācija σ2. Tad, pateicoties Chebyshov nevienlīdzībai, mums ir:

Piemērs

Pieņemsim, ka X1, X2, ... Xn ir neatkarīgu nejaušu mainīgo paraugs ar Bernulli sadalījumu, lai viņi varētu iegūt vērtību 1 ar varbūtību p = 0,5.

Kādam jābūt parauga lielumam, lai varētu garantēt, ka varbūtība, ka starpība starp aritmētisko vidējo Sn un tās paredzamo vērtību (kas pārsniedz vairāk nekā 0,1) ir mazāka vai vienāda ar 0. 01?

Risinājums

Mums ir tas, ka E (X) = μ = p = 0,5 un ka Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Attiecībā uz Čebisovas nevienlīdzību jebkuram k> 0 mums ir:

Tagad, ņemot k = 0,1 un δ = 0,01, mums ir:

Tādā veidā tiek secināts, ka ir nepieciešams vismaz 2500 paraugu, lai nodrošinātu, ka notikuma varbūtība: Sn - 0,5 |> = 0,1 ir mazāka par 0,01.

Nevienlīdzība ir Chebyshov

Ir dažādas nevienlīdzības, kas saistītas ar Chebysov nevienlīdzību. Viens no pazīstamākajiem ir Markova nevienlīdzība:

Šajā izteiksmē X ir ne-negatīvs nejaušais mainīgais ar k, r> 0.

Markova nevienlīdzība var būt dažāda. Piemēram, ļaujiet Y būt neegģatīvam nejaušam mainīgajam lielumam (tā P (Y> = 0) = 1) un pieņemsim, ka E (Y) = μ pastāv. Pieņemsim arī, ka (E (Y))r= μr pastāv dažam veselam skaitlim r> 1. Tad:

Vēl viena nevienlīdzība ir Gauss, kas mums norāda, ka, piešķirot unimodālu nejaušības mainīgo lielumu X ar režīmu pie nulles, tad k> 0,

Atsauces

  1. Kai Lai Chung Elementārā ticamības teorija ar stohastiskiem procesiem. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Varbūtība un statistikas lietojumi. S.A. MEKSIKAS ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000. gada diskrētās matemātikas problēmas. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Varbūtības teorija un problēmas. McGRAW-HILL.