Atrisināts Bolzano teorijas skaidrojums, lietojumprogrammas un vingrinājumi

The Bolzano teorēma konstatē, ka, ja funkcija ir nepārtraukta visos slēgtā intervāla [a, b] punktos un ir pārliecināta, ka attēlam "a" un "b" (ar funkciju) ir pretējas zīmes, tad būs vismaz viens punkts "C" atvērtajā intervālā (a, b) tā, ka funkcija, kas novērtēta "c", būs vienāda ar 0.

Šo teorēmu noteica filozofs, teologs un matemātiķis Bernards Bolzano 1850. gadā. Šis zinātnieks, dzimis mūsdienu Čehijas Republikā, bija viens no pirmajiem vēstures matemātiķiem, lai oficiāli demonstrētu nepārtraukto funkciju īpašības..

Indekss

• 1 Paskaidrojums
• 2 Demonstrācija
• 3 Kas tas ir??
• 4 Risinājumi atrisināti
  • 4.1 1. uzdevums
  • 4.2. 2. uzdevums
• 5 Atsauces

Paskaidrojums

Bolzano teorēmu sauc arī par starpvērtību teorēmu, kas palīdz noteikt konkrētu reālu mainīgo reālo funkciju vērtības, jo īpaši nulles..

Noteiktajā funkcijā f (x) turpinās - tas ir, ka f (a) un f (b) ir savienotas ar līkni, kur f (a) ir zem x ass (ir negatīva), un f (b) ir virs x ass (tas ir pozitīvs), vai otrādi, grafiski būs x ass ass griezuma punkts, kas būs starpvērtība "c", kas būs starp "a" un "b", un f (c) vērtību. būs vienāds ar 0.

Grafiski analizējot Bolzano teorēmu, mēs varam zināt, ka katrai funkcijai f nepārtraukti definēta intervālā [a, b], kur f (a)_*f (b) ir mazāks par 0, intervālā (a, b) būs vismaz viena šīs funkcijas sakne "c".

Šis teorēma nenosaka, cik daudz atklātā intervālā esošo punktu ir, tikai norāda, ka ir vismaz 1 punkts.

Demonstrācija

Lai pierādītu Bolzano teorēmu, tiek pieņemts, ka f (a) nav vispārējs. < 0 y f(b) > 0; tādā veidā var būt daudzas vērtības starp "a" un "b", attiecībā uz kurām f (x) = 0, bet jums ir tikai jāpierāda, ka ir viens.

Sāciet, novērtējot f viduspunktā (a + b) / 2. Ja f ((a + b) / 2) = 0, tad tests beidzas šeit; pretējā gadījumā f ((a + b) / 2) ir pozitīva vai negatīva.

Viena no intervāla [a, b] pusēm ir izvēlēta tā, ka galos novērtētās funkcijas pazīmes atšķiras. Šis jaunais intervāls būs [a1, b1].

Tagad, ja f novērtēts [a1, b1] viduspunktā, nav nulle, tad tiek veikta tāda pati darbība kā iepriekš; tas ir, ir izvēlēta puse no šī intervāla, kas atbilst apzīmējumu stāvoklim. Esiet šis jaunais intervāls [a2, b2].

Ja šis process tiek turpināts, tiks veikti divi mantojumi an un bn, lai:

a pieaug un bn samazinās:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Ja aprēķināsiet katra intervāla [ai, bi] garumu, jums būs:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Tāpēc robeža, kad n mēdz būt bezgalība (bn-an), ir vienāda ar 0.

Izmantojot šo a pieaugošo un ierobežoto un bn samazinās un ierobežo, ir jābūt vērtībai "c", kas:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

An ir robeža "c", un bn robeža ir arī "c". Tāpēc, ņemot vērā jebkuru δ> 0, vienmēr ir tāds "n", ka intervāls [an, bn] atrodas intervālā (c-δ, c + δ).

Tagad jāpierāda, ka f (c) = 0.

Ja f (c)> 0, tad tā kā f ir nepārtraukta, pastāv ε> 0 tā, ka f ir pozitīvs visā intervālā (c-ε, c + ε). Tomēr, kā minēts iepriekš, pastāv vērtība "n", kas nozīmē, ka f mainās [an, bn], turklāt [an, bn] ir ietverts (c-ε, c + ε), kas ir pretruna.

Ja f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 tā, ka f ir negatīvs visā intervālā (c-ε, c + ε); bet pastāv vērtība "n", ka f mainās [an, bn]. Izrādās, ka [an, bn] ir ietverts (c-ε, c + ε), kas ir arī pretruna.

Tāpēc, f (c) = 0, un tas ir tas, ko mēs vēlējāmies parādīt.

Kas tas ir??

No tā grafiskās interpretācijas Bolzano teorēmu izmanto, lai atrastu saknes vai nulles nepārtrauktā funkcijā, izmantojot šķērsgriezumu (tuvināšanu), kas ir papildu meklēšanas metode, kas vienmēr iedala intervālus uz 2.

Tad ņemiet intervālu [a, c] vai [c, b], kur notiek zīmes maiņa, un atkārtojiet procesu, līdz intervāls ir mazāks un mazāks, lai jūs varētu tuvoties vēlamajai vērtībai; tas ir, vērtība, ko funkcija veic 0.

Kopumā, lai piemērotu Bolzano teorēmu un tādējādi atrastu saknes, norobežotu funkcijas nulles vai sniegtu risinājumu vienādojumam, veic šādas darbības:

- Pārbauda, ​​vai f ir nepārtraukta funkcija intervālā [a, b].

- Ja intervāls nav dots, jāatrod, kur funkcija ir nepārtraukta.

- Pārbauda, ​​vai intervāla galējās robežas novērtē f.

- Ja pretējās pazīmes netiek iegūtas, intervāls jāsadala divos apakšintervālos, izmantojot viduspunktu.

- Novērtējiet funkciju viduspunktā un pārbaudiet, vai ir izpildīta Bolzano hipotēze, kur f (a) _* f (b) < 0.

- Atkarībā no konstatētās vērtības zīmes (pozitīvā vai negatīvā) process tiek atkārtots ar jaunu apakšintervaltu, līdz minētā hipotēze ir izpildīta.

Atrisinātās mācības

1. uzdevums

Nosakiet, vai funkcija f (x) = x² - 2, ir vismaz viens reāls risinājums intervālā [1,2].

Risinājums

Mums ir funkcija f (x) = x² - 2. Tā kā tas ir polinoms, tas nozīmē, ka tas ir nepārtraukts jebkurā intervālā.

Jums tiek prasīts noteikt, vai intervālā [1, 2] ir reāls risinājums, tāpēc tagad ir jāaizstāj tikai intervāla beigas funkcijā, lai uzzinātu šo zīmi un zinātu, vai tie atbilst nosacījumam par atšķirīgu:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negatīvs)

f (2) = 2² - 2 = 2 (pozitīvs)

Tāpēc f (1) ≠ zīme f (2).

Tas nodrošina, ka ir vismaz viens punkts "c", kas pieder pie intervāla [1,2], kur f (c) = 0.

Šādā gadījumā "c" vērtību var viegli aprēķināt šādi:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Tādējādi √2 ≈ 1,4 pieder intervālam [1,2] un atbilst f (√2) = 0.

2. uzdevums

Pierādiet, ka vienādojums x⁵ + x + 1 = 0 ir vismaz viens reāls risinājums.

Risinājums

Pirmkārt, ņemiet vērā, ka f (x) = x⁵ + x + 1 ir polinoma funkcija, kas nozīmē, ka tas ir nepārtraukts visos reālajos skaitļos.

Šādā gadījumā netiek dots intervāls, tāpēc vērtības jāizvēlas intuitīvi, vēlams tuvu 0, lai novērtētu funkciju un atrastu zīmes izmaiņas:

Ja izmantojat intervālu [0, 1], jums ir:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Tā kā nav zīmes, process tiek atkārtots ar citu intervālu.

Ja izmantojat intervālu [-1, 0], jums ir:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Šajā intervālā ir zīmes maiņa: f (-1) zīme f (0), kas nozīmē, ka funkcija f (x) = x⁵ + x + 1 ir vismaz viens reālais saknes "c" intervālā [-1, 0], tāds, ka f (c) = 0. Citiem vārdiem sakot, ir taisnība, ka x⁵ + x + 1 = 0 ir reāls risinājums intervālā [-1,0].

Atsauces

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Inženieru un studentu matemātikas rokasgrāmata ... Redakcionālais MIR.
2. George, A. (1994). Matemātika un prāts. Oxford University Press.
3. Ilín V, P. E. (1991). Matemātiskā analīze Trīs sējumos ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Vidējās izglītības skolotāji. II sējums. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Analīzes galvenās īpašības R. Editores, 20. decembris.
6. Piskunov, N. (1980). Diferenciālais un integrālais aprēķins ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Ekonomiskās analīzes matemātika. Felix Varela.
8. William H. Barker, R. H. (s.f.). Nepārtraukta simetrija: no Eiklida līdz Kleinam. American Mathematical Soc.