Ievērojami izskaidroti produkti un uzdevumi



The ievērojamus produktus tās ir algebriskas operācijas, kurās tiek izteiktas polinomu reizināšanas, kuras nav nepieciešams atrisināt tradicionāli, bet ar dažu noteikumu palīdzību jūs varat atrast to rezultātus.

Polinomi tiek reizināti ar sevi, tāpēc tiem var būt liels terminu un mainīgo skaits. Lai padarītu šo procesu īsāku, tiek izmantoti ievērojamo produktu noteikumi, kas ļauj veikt reizināšanu bez termiņa..

Indekss

  • 1 Ievērojami produkti un piemēri
    • 1.1. Binomālais kvadrāts
    • 1.2 Konjugēto binomiju produkts
    • 1.3. Divu binomiju produkts ar kopējo terminu
    • 1.4. Polinoma kvadrāts
    • 1.5. Binomija uz kubu
    • 1.6. Trinomiāla spainis
  • 2 Uzdevumi atrisināti izciliem produktiem
    • 2.1. 1. uzdevums
    • 2.2. 2. uzdevums
  • 3 Atsauces

Ievērojami produkti un piemēri

Katrs ievērojamais produkts ir formula, kas iegūta no faktorizācijas, kas sastāv no dažādu terminu polinomiem, piemēram, binomiāliem vai trinomiem, ko sauc par faktoriem..

Faktori ir spēka pamats un eksponents. Kad faktori vairojas, jāpievieno eksponenti.

Ir vairākas ievērojamas produkta formulas, dažas no tām ir vairāk izmantotas nekā citas, atkarībā no polinomiem, un tās ir šādas:

Binoma kvadrāts

Tā ir binomijas reizināšana pati par sevi, izteikta varas formā, kur termini tiek pievienoti vai atņemti:

a. Binomālā summa uz kvadrātu: ir vienāds ar pirmā termiņa kvadrātu, pieskaitot divkāršu terminu summu, kā arī otrā termiņa kvadrātu. To izsaka šādi:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Nākamajā attēlā parādīts, kā produkts tiek izstrādāts saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu. Rezultāts tiek saukts par perfektā laukuma trinomu.

1. piemērs

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

2. piemērs

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2

(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.

b. Atņemta kvadrāta binoms: tas pats noteikums attiecas uz summas binomiju, tikai to, ka šajā gadījumā otrais termins ir negatīvs. Tās formula ir šāda:

(a - b)2 = [(a) + (- b)]2

(a - b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2

(a - b)2  = a2 - 2ab + b2.

1. piemērs

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12x) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Konjugēto binomiju produkts

Divi binomi ir konjugēti, kad katra otrā termina ir atšķirīgas pazīmes, tas ir, pirmā ir pozitīvs, bet otrā - pozitīvs, bet otrā - pozitīvs. Atrisiniet, paaugstinot katru monomijas laukumu un atņemot. Tās formula ir šāda:

(a + b) * (a - b)

Nākamajā attēlā ir izstrādāts divu konjugētu binomiju produkts, kurā konstatēts, ka rezultāts ir kvadrātu atšķirība..

1. piemērs

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a2 - 9b2.

Divu binomiju produkts ar kopējo terminu

Tas ir viens no sarežģītākajiem un mazliet izmantotajiem ievērojamiem produktiem, jo ​​tas ir divu binomiju skaits, kuriem ir kopīgs termins. Noteikums norāda:

  • Kopējā termina kvadrāts.
  • Turklāt pievienojiet terminus, kas nav izplatīti, un pēc tam reizināt tos ar kopējo terminu.
  • Plus summa, kas reizināta ar terminiem, kas nav izplatīti.

Tas ir attēlots šādā formātā: (x + a) * (x + b), un tā tiek veidota, kā parādīts attēlā. Rezultāts ir kvadrātveida trinomiāls, kas nav perfekts.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6. \ t * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Pastāv iespēja, ka otrais termins (atšķirīgais termins) ir negatīvs un tā formula ir šāda: (x + a) * (x - b).

2. piemērs

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4. \ T * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Var būt arī tas, ka abi atšķirīgie termini ir negatīvi. Tās formula būs: (x - a) * (x - b).

3. piemērs

(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)

(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.

Kvadrātveida polinoms

Šajā gadījumā ir vairāk nekā divi termini un to attīstīt, katrs no tiem ir kvadrāts un pievienots kopā ar vienu termina reizināšanu ar otru; tās formula ir: (a + b + c)2 un operācijas rezultāts ir trinoma kvadrāts.

1. piemērs

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2 gadi)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Binomālais uz kubu

Tas ir ievērojams komplekss produkts. Lai to attīstītu, binomiju reiziniet ar tās laukumu šādā veidā:

a. Lai binomālā summa būtu kubā,

  • Pirmā termiņa kubs, kā arī pirmā termiņa kvadrāta trīskāršais ar otro.
  • Plus trīs reizes pirmais termiņš, otrā kvadrāta.
  • Plus otrā termiņa kubs.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

1. piemērs

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3 (a)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.

b. Par binomālo atņemšanas kubu:

  • Pirmā termina kubs, atņemot pirmā cikla kvadrātu ar otro.
  • Plus trīs reizes pirmais termiņš, otrā kvadrāta.
  • Mazāk otrā termiņa kubs.

(a - b)3 = (a - b) * (a - b)2

(a - b)3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)

(a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.

2. piemērs

(b - 5)3 = b3 + 3. punkta b) apakšpunkts2*(-5) + 3 (b)*(-5)2 + (-5)3

(b - 5)3 = b3 + 3. punkta b) apakšpunkts2*(-5) + 3 (b)*(25) -125

(b - 5)3 = b3 - 15b2 +75b - 125.

Trinomiāla spainis

Tā attīstās, reizinot to ar tās laukumu. Tas ir ievērojams produkts, kas ir ļoti plašs, jo uz kubu ir izvirzīti 3 termini, pieskaitot trīs reizes katram terminam, kas reizināts ar katru no šiem nosacījumiem, plus sešas reizes lielāks par triju terminu rezultātu. Labāk redzams:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.

1. piemērs

Nozīmīgu produktu risinājumi

1. uzdevums

Izstrādāt kubam šādu binomiju: (4x - 6)3.

Risinājums

Atgādinot, ka binomija uz kubu ir vienāda ar pirmo terminu, kas izvirzīts uz kubu, atņemot pirmā cikla kvadrātu ar otro; plus pirmā termiņa trīskāršais, otrais kvadrāts, atskaitot otrā termiņa kubu.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

2. uzdevums

Izstrādāt šādu binomiju: (x + 3) (x + 8).

Risinājums

Ir binomāls, kur ir kopīgs termins, kas ir x un otrais termins ir pozitīvs. Lai to attīstītu, jums tikai jāapgriež kopējais termins, kā arī to terminu summa, kas nav bieži sastopami (3 un 8), un pēc tam reiziniet tos ar kopējo terminu, kā arī summu, kas nav kopīga.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3. \ T*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

Atsauces

  1. Angel, A. R. (2007). Elementārā algebra. Pearson Education,.
  2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
  3. Das, S. (s.f.). Matemātika Plus 8. Apvienotā Karaliste: Ratna Sagar.
  4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Pamatskola un vidēja algebra: kombinēta pieeja. Florida: Cengage Learning.
  5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.