Vector algebras pamati, lielumi, vektori



The vektora algebra ir matemātikas nozare, kas atbild par lineāro vienādojumu, vektoru, matricu, vektoru telpu un to lineāro transformāciju sistēmu izpēti. Tas ir saistīts ar tādām jomām kā inženierija, diferenciālvienādojumu risināšana, funkcionālā analīze, operāciju izpēte, datorgrafika..

Vēl viena joma, kas ir pieņēmusi lineāro algebru, ir fizika, jo caur to ir izstrādāta fizisko parādību izpēte, aprakstot tos, izmantojot vektorus. Tas ir ļāvis labāk saprast Visumu.

Indekss

  • 1 Pamati
    • 1.1 Ģeometriski
    • 1.2 Analītiski
    • 1.3. Aksiomatiski
  • 2 Lielumi
    • 2.1. Scalar lielums
    • 2.2
  • 3 Kas ir vektori?
    • 3.1. Modulis
    • 3.2 Adrese
    • 3.3
  • 4 Vektoru klasifikācija
    • 4.1. Fiksēts vektors
    • 4.2. Bezmaksas vektors
    • 4.3 Bīdāms vektors
  • 5 Vektoru īpašības
    • 5.1 ekvipolentes vektori
    • 5.2 Ekvivalenti vektori
    • 5.3. Vektoru vienlīdzība
    • 5.4 Pretēji vektoriem
    • 5.5 Vienības vektors
    • 5.6 Null Vector
  • 6 Vektora komponenti
    • 6.1 Piemēri
  • 7 Darbības ar vektoriem
    • 7.1. Vektoru pievienošana un atņemšana
    • 7.2. Vektoru reizināšana
  • 8 Atsauces

Pamati

Vektors algebra radās, pētot kvaternionus (reālo skaitļu paplašināšana) 1, i, j, un k, kā arī Dekarta ģeometriju, ko veicināja Gibbs un Heaviside, kuri saprata, ka vektori kalpotu kā instruments pārstāv dažādas fiziskas parādības.

Vektora algebra tiek pētīta, izmantojot trīs pamatus:

Ģeometriski

Vektorus attēlo līnijas, kurām ir orientācija, un tādas darbības kā pievienošana, atņemšana un reizināšana ar reāliem skaitļiem tiek noteiktas ar ģeometriskām metodēm..

Analītiski

Vektoru apraksts un to darbība tiek veikta ar numuriem, ko sauc par komponentiem. Šis apraksts ir ģeometriskas attēlojuma rezultāts, jo tiek izmantota koordinātu sistēma.

Aksiomatiski

Tiek veikts vektoru apraksts neatkarīgi no koordinātu sistēmas vai jebkura veida ģeometriskā attēlojuma.

Datu izpēte kosmosā tiek veikta, izmantojot to pārstāvību atsauces sistēmā, kas var būt vienā vai vairākos izmēros. Starp galvenajām sistēmām ir:

- Viendimensiju sistēma, kas ir līnija, kurā viens punkts (O) attēlo izcelsmi un cits punkts (P) nosaka skalu (garumu) un tā virzienu:

- Taisnstūra koordinātu sistēma (divdimensiju), kas sastāv no divām perpendikulārām līnijām, ko sauc par x-ass un y-asi, kas iet caur punkta (O) izcelsmi; šādā veidā lidmašīna ir sadalīta četros reģionos, ko sauc par kvadrantiem. Šajā gadījumā punktu (P) plaknē nosaka attālumi, kas pastāv starp asīm un P.

- Polāro koordinātu sistēma (divdimensiju). Šādā gadījumā sistēma sastāv no punkta O (izcelsme), ko sauc par polu un staru ar izcelsmi O, ko sauc par polāro asi. Šajā gadījumā plaknes punktu P, atsaucoties uz polu un polāro asi, nosaka leņķis (Ɵ), ko veido attālums starp izcelsmi un punktu P.

- Taisnstūra trīsdimensiju sistēma, ko veido trīs perpendikulāras līnijas (x, y, z), kuru izcelsmes vieta ir O. Ir izveidotas trīs koordinātu plaknes: xy, xz un yz; telpa tiks sadalīta astoņos reģionos, ko sauc par oktāniem. Telpas P punkta atsauce tiek dota ar attālumiem, kas pastāv starp plaknēm un P.

Lielumi

Lielums ir fizisks daudzums, ko var skaitīt vai izmērīt ar skaitlisku vērtību, piemēram, dažu fizisku parādību gadījumā; tomēr bieži vien ir nepieciešams spēt aprakstīt šīs parādības ar citiem faktoriem, kas nav skaitliski. Tāpēc lielumi tiek iedalīti divos veidos:

Scalar lielums

Tie ir tādi daudzumi, kas ir definēti un attēloti skaitliski; tas ir, ar moduli kopā ar mērvienību. Piemēram:

a) Laiks: 5 sekundes.

b) Masa: 10 kg.

c) Tilpums: 40 ml.

d) Temperatūra: 40ºC.

Vector lielums

Tie ir tādi daudzumi, kurus nosaka un attēlo modulis kopā ar vienību, kā arī sajūtu un virzienu. Piemēram:

a) Ātrums: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Paātrinājums: 13 m / s2; S 45º E.

c) Spēks: 280 N, 120º.

d) Svars: -40 ĵ kg-f.

Vektoru lielumus attēlo vektori.

Kas ir vektori?

Vektori ir vektoru lieluma grafiskie attēli; tas ir, tie ir taisnas līnijas, kurās galīgais gals ir bultiņas gals.

Tos nosaka to modulis vai segmenta garums, to jēga, ko norāda bultiņas gals un to virziens atbilstoši līnijai, kurai tie pieder. Vektora izcelsme ir pazīstama arī kā lietošanas vieta.

Vektora elementi ir šādi:

Modulis

Tas ir attālums no izcelsmes līdz gala beigām, ko pārstāv reāls skaitlis kopā ar vienību. Piemēram:

| OM | = | A | = A = 6 cm

Adrese

Tas ir leņķa mērījums starp x asi (no pozitīvā) un vektora, kā arī kardināli punkti (ziemeļi, dienvidi, austrumi un rietumi)..

Sense

To norāda ar bultas galu, kas atrodas vektora galā, norādot, kur tas atrodas.

Vektoru klasifikācija

Parasti vektori ir klasificēti kā:

Fiksēts vektors

Tas ir tas, kura piemērošanas punkts (izcelsme) ir fiksēts; tas ir, ka tas paliek sasaistīts ar vietas punktu, iemesls, kāpēc to nevar pārvietot.

Bezmaksas vektors

Tā var brīvi pārvietoties kosmosā, jo tā izcelsme virzās uz jebkuru punktu, nemainot tās moduli, sajūtu vai virzienu.

Bīdāms vektors

Tas ir tas, kas var pārvietot savu izcelsmi pa savu darbības līniju, nemainot tā moduli, sajūtu vai virzienu.

Vektoru īpašības

Galvenās vektoru īpašības ir šādas:

Equipolentes vektori

Tie ir tie brīvie vektori, kuriem ir tāds pats modulis, virziens (vai tie ir paralēli), un jūt, ka slīdošais vektors vai fiksēts vektors.

Ekvivalenti vektori

Tas notiek, ja diviem vektoriem ir tāda pati adrese (vai ir paralēli), tādā pašā nozīmē, un, neraugoties uz dažādiem moduļiem un lietojuma punktiem, tie rada tādas pašas sekas.

Vektoru vienlīdzība

Viņiem ir tāds pats modulis, virziens un jēga, lai gan to sākuma punkti ir atšķirīgi, kas ļauj paralēlam vektoram pārvietoties, neietekmējot to..

Pretēji vektoriem

Tie ir tie, kuriem ir tāds pats modulis un virziens, bet to jēga ir pretēja.

Vector vienība

Tas ir tas, kurā modulis ir vienāds ar vienību (1). To iegūst, sadalot vektoru no tā moduļa, un to izmanto, lai noteiktu vektora virzienu un sajūtu vai nu plaknē, vai kosmosā, izmantojot bāzi vai vienotu normalizētu vektoru, kas ir:

Nulles vektors

Tas ir tas, kura modulis ir vienāds ar 0; tas ir, to izcelsmes punkts un ekstrēms sakrīt vienā un tajā pašā punktā.

Vektora komponenti

Vektora sastāvdaļas ir vektora projekcijas vērtības uz atskaites sistēmas asīm; Atkarībā no vektora sadalīšanās, kas var būt divdimensiju vai trīsdimensiju asīs, tiks iegūti attiecīgi divi vai trīs komponenti..

Vektora komponenti ir reāli skaitļi, kas var būt pozitīvi, negatīvi vai pat nulle (0).

Tādējādi, ja mums ir vektora Â, kura izcelsme ir taisnstūrveida koordinātu sistēmā xy (divdimensiju) plaknē, projekcija uz x ass ir Āx un projekcija uz y ass ir Āy. Tādējādi vektoru izsaka kā komponentu vektoru summu.

Piemēri

Pirmais piemērs

Mums ir vektora Â, kas sākas no tā gala un koordinātu. Tādējādi vektora  = (Âx; Aun) = (4; 5) cm.

Ja vektora  iedarbojas uz trīsdimensiju trīsstūra koordinātu sistēmu (telpā) x, y, z, uz citu punktu (P), projekcijas uz tās asīm būs Āx, Āy un Āz; tādējādi vektoru izsaka kā tā trīs komponentu vektoru summu.

Otrais piemērs

Mums ir vektora Â, kas sākas no tā gala un koordinātu. Tādējādi vektora  = (Ax; Aun; Az) = (4; 6; -3) cm.

Vektorus, kuriem ir taisnstūra koordinātas, var izteikt to pamatvektoru izteiksmē. Šim nolūkam tikai katrai koordinātai jāreizina tā atbilstošā vienības vektors tā, lai plaknei un telpai tie būtu:

Par plakni: Â = Axi + Aunj.

Vietai: Â = Axi + Aunj + Azk.

Darbības ar vektoriem

Ir daudzi apjomi, kuriem ir modulis, sajūta un virziens, piemēram, paātrinājums, ātrums, pārvietojums, spēks..

Tās tiek pielietotas dažādās zinātnes jomās, un to pielietošanai dažos gadījumos ir nepieciešams veikt vektoru un skalāru pievienošanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu..

Vektoru pievienošana un atņemšana

Vektoru pievienošana un atņemšana tiek uzskatīta par vienu algebrisku darbību, jo atņemšanu var rakstīt kā summu; piemēram, vektoru un Ē atņemšanu var izteikt kā:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Ir dažādas metodes, lai veiktu vektoru pievienošanu un atņemšanu: tie var būt grafiski vai analītiski.

Grafiskās metodes

Izmanto, ja vektoram ir modulis, sajūta un virziens. Lai to izdarītu, tiek izveidotas līnijas, kas veido skaitli, kas vēlāk palīdz noteikt rezultātu. Viens no pazīstamākajiem ir šāds:

Paralelogrammas metode

Lai veiktu divu vektoru pievienošanu vai atņemšanu, koordinātu asī parasti tiek izvēlēts punkts, kas pārstāvēs vektoru izcelsmes vietu, saglabājot moduli, virzienu un virzienu..

Tad līnijas tiek novilktas paralēli vektoriem, veidojot paralelogrammu. Iegūtais vektors ir diagonāle, kas atstāj no abu vektoru izcelsmes vietas līdz paralelogrammas virsotnei:

Trīsstūra metode

Šajā metodē vektori tiek izvietoti viens otram blakus, saglabājot moduļus, virzienus un virzienus. Iegūtais vektors būs pirmā vektora izcelsmes savienojums ar otrā vektora galu:

Analītiskās metodes

Ar ģeometrisku vai vektoru metodi var pievienot vai atņemt divus vai vairākus vektorus:

Ģeometriskā metode

Ja divi vektori veido trijstūri vai paralelogrammu, iegūstamā vektora moduli un virzienu var noteikt, izmantojot sinusa un kosīna likumus. Tādējādi iegūto vektoru moduli, piemērojot kosinusa likumu un trijstūra metodi, sniedz:

Šajā formulā β ir leņķis, kas ir pretējs pusē R, un tas ir vienāds ar 180º - Ɵ.

Turpretī, izmantojot paralelogrammas metodi, iegūtais vektora modulis ir:

Iegūto vektora virzienu nosaka leņķis (α), kas veido rezultātu ar vienu no vektoriem.

Saskaņā ar sinusa likumu, vektoru pievienošanu vai atņemšanu var veikt arī ar trijstūra vai paralelogrammas metodi, zinot, ka katrā trijstūrī sānu malas ir proporcionālas leņķu krūtīm:

Vector metode

To var izdarīt divos veidos: atkarībā no to taisnstūra koordinātēm vai to pamat vektoriem.

To var izdarīt, pārceļot vektorus, kas jāpievieno vai jāatņem no koordinātu sākuma, un tad visas projekcijas uz katras ass plaknes (x, y) vai atstarpes (x, un z); visbeidzot, tā komponenti tiek pievienoti algebriski. Tātad plaknei tā ir:

Iegūto vektoru modulis ir:

Kamēr telpai tas ir:

Iegūto vektoru modulis ir:

Veicot vektoru summas, tiek izmantotas vairākas īpašības, kas ir:

- Asociatīvā īpašība: rezultāts nemainās, pievienojot divus vektorus, un pēc tam pievienojot trešo vektoru.

- Komutatīvais īpašums: vektoru secība nemaina iegūto.

- Vektoru sadalījuma īpašība: ja skalārs tiek reizināts ar divu vektoru summu, tas ir vienāds ar skalāra reizinājumu katram vektoram..

- Scalar izplatīšanas īpašums: ja vektoru reizina ar divu skalāru summu, tas ir vienāds ar vektora reizināšanu katram skalāram.

Vektoru reizināšana

Vektoru reizinājums vai produkts var tikt izdarīts kā pievienošana vai atņemšana, bet to darot, tas zaudē fizisko nozīmi un gandrīz nekad nav atrodams lietojumprogrammās. Tāpēc parasti visbiežāk izmantotie produktu veidi ir skalārs un vektorisks produkts.

Scalar produkts

Tas ir pazīstams arī kā divu vektoru dotais produkts. Ja divu vektoru moduļi tiek reizināti ar mazākā leņķa, kas veidojas starp tām, kosinuss, tiek iegūts skalārs. Lai novietotu skalāru produktu starp diviem vektoriem, starp tiem ir punkts, un to var definēt kā:

Leņķa vērtība, kas pastāv starp diviem vektoriem, būs atkarīga no tā, vai tie ir paralēli vai perpendikulāri; Tātad, jums ir:

- Ja vektori ir paralēli un tiem ir tāda pati nozīme, kosinuss 0º = 1.

- Ja vektori ir paralēli un tiem ir pretējas sajūtas, kosinuss 180º = -1.

- Ja vektori ir perpendikulāri, 90 ° = 0.

Šo leņķi var aprēķināt, zinot, ka:

Skalārajam produktam ir šādas īpašības:

- Komutatīvais īpašums: vektoru secība nemaina skalāru.

-Sadales īpašums: ja skalārs tiek reizināts ar divu vektoru summu, tas ir vienāds ar skalāra reizinājumu katram vektoram.

Vector produkts

Divu vektoru A un B vektora pavairošana vai šķērsprodukts radīs jaunu vektoru C un to izsaka, izmantojot krustu starp vektoriem:

Jaunajam vektoram būs savas īpašības. Tādā veidā:

- Virziens: šis jaunais vektors būs perpendikulārs plaknei, ko nosaka sākotnējie vektori.

- Šī jēga: to nosaka labās rokas noteikums, kur vektoru A pagriež B virzienā, norādot rotācijas virzienu ar pirkstiem, un ar īkšķi iezīmē vektora jēgu.

- Moduli: nosaka vektoru AxB moduļu reizinājums ar mazāko leņķi, kas pastāv starp šiem vektoriem. To izsaka:

Leņķa vērtība, kas pastāv starp diviem vektoriem, būs atkarīga no tā, vai tie ir paralēli vai perpendikulāri. Pēc tam var apstiprināt:

- Ja vektori ir paralēli un tiem ir tāda pati nozīme, sin 0º = 0.

- Ja vektori ir paralēli un tiem ir pretējas sajūtas, sinus 180º = 0.

- Ja vektori ir perpendikulāri, sinus 90º = 1.

Ja vektora produkts ir izteikts tā bāzes vektoros, tam ir:

Skalārajam produktam ir šādas īpašības:

- Tas nav komutatīvs: vektoru secība maina skalāru.

- Sadales īpašums: ja skalārs tiek reizināts ar divu vektoru summu, tas ir vienāds ar skalāra reizinājumu katram vektoram.

Atsauces

  1. Altman Naomi, M. K. (2015). "Vienkārša lineāra regresija." Dabas metodes .
  2. Angel, A. R. (2007). Elementārā algebra Pearson Education,.
  3. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
  4. Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (s.f.). Algebr līdz Vectorial paraugos. Maskava: Mir.
  5. Lay, D. C. (2007). Lineārā algebra un tās pielietojumi. Pearson Education.
  6. Llinares, J. F. (2009). Lineārā algebra: Vector telpa. Eiklīda vektoru telpa. Alikantes Universitāte.
  7. Mora, J. F. (2014). Lineārā algebra Dzimtene.