Matemātiskās loģikas izcelsme, kādi pētījumi, veidi



The matemātiskā loģika vai simboliska loģika ir matemātiska valoda, kas ietver nepieciešamos rīkus, ar kuriem var apstiprināt vai noraidīt matemātisko pamatojumu..

Ir labi zināms, ka matemātikā nav nekādu neskaidrību. Ņemot vērā matemātisko argumentu, tas ir spēkā vai vienkārši nav. Tajā pašā laikā tā nevar būt nepatiesa un patiesa.

Īpašs matemātikas aspekts ir tas, ka tai ir formāla un stingra valoda, ar kuras palīdzību var noteikt pamatojuma pamatotību. Kas ir tas, kas padara zināmu pamatojumu vai matemātisku pierādījumu neapstrīdamu? Tāda ir matemātiskā loģika.

Tādējādi loģika ir matemātikas disciplīna, kas ir atbildīga par matemātisko pamatojumu un demonstrāciju izpēti, un nodrošina instrumentus, lai varētu secināt no iepriekšējiem paziņojumiem vai priekšlikumiem..

Lai to izdarītu, tiek izmantoti aksiomi un citi matemātiskie aspekti, kas tiks izstrādāti vēlāk.

Indekss

  • 1 Izcelsme un vēsture
    • 1.1 Aristotelis
  • 2 Kādas matemātiskās loģikas studijas?
    • 2.1. Priekšlikumi
    • 2.2 Patiesības tabulas
  • 3 Matemātiskās loģikas veidi
    • 3.1
  • 4 Atsauces

Izcelsme un vēsture

Precīzi datumi attiecībā uz daudziem matemātiskās loģikas aspektiem ir neskaidri. Tomēr lielākā daļa bibliogrāfijas par šo tēmu izsekoja šīs izcelsmes izcelsmi senajā Grieķijā.

Aristotelis

Stingras loģikas apstrādes sākums daļēji ir attiecināms uz Aristoteli, kurš rakstīja loģikas darbu kopumu, ko vēlāk vāca un attīstīja dažādi filozofi un zinātnieki līdz viduslaikos. To varētu uzskatīt par "veco loģiku".

Tad, kas pazīstams kā mūsdienu laikmets, Leibnica, ko pārvieto dziļa vēlme izveidot universālu valodu matemātiski, un citi matemātiķi, piemēram, Gottlob Frege un Giuseppe Peano, īpaši ietekmēja matemātiskās loģikas attīstību ar lielu ieguldījumu starp tām arī Peano aksiomas, kas veido neaizstājamas dabisko skaitļu īpašības.

Matemātiķi Džordžs Būls un Džordžs Kantors arī šajā laikā bija ļoti ietekmīgi, ar nozīmīgu ieguldījumu teorijas un patiesības tabulās, cita starpā izceļot Būla algebru (George Boole) un izvēles aksiomu. (Džordžs Kantors).

Ir arī Augustus De Morgan ar labi zināmiem Morgana likumiem, kas paredz atteikumus, saiknes, disjunkcijas un nosacījumus starp piedāvājumiem, simboliem simboliskās loģikas attīstībai un John Venn ar slavenajām Venn diagrammām.

20. gadsimtā, aptuveni no 1910. līdz 1913. gadam, Bertrand Russell un Alfred North Whitehead izceļas ar publikāciju Principia mathematica, grāmatu kopums, kas apkopo, attīsta un postulē virkni aksiomu un loģisko rezultātu.

Kādas matemātiskās loģikas studijas?

Priekšlikumi

Matemātiskā loģika sākas ar piedāvājuma izpēti. Priekšlikums ir apstiprinājums, ka bez jebkādas neskaidrības var teikt, vai tā ir patiesa vai nē. Turpmāk minēti piemēri:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • 1930. gadā Eiropā bija zemestrīce.

Pirmais ir patiess piedāvājums, bet otrais ir nepareizs apgalvojums. Trešais, pat ja tas ir iespējams, ka persona, kas lasa, nezina, vai tā ir taisnība vai uzreiz, tas ir paziņojums, ko var pārbaudīt un noteikt, ja tas tiešām noticis vai nē.

Tālāk ir minēti izteicieni, kas nav priekšlikumi:

  • Viņa ir blondīne.
  • 2x = 6.
  • Spēlēsim!
  • Vai jums patīk kino?

Pirmajā priekšlikumā nav norādīts, kurš "viņa" ir, tāpēc nekas nevar tikt apstiprināts. Otrajā priekšlikumā nav norādīts, kas ir "x". Ja tā vietā tika teikts, ka 2x = 6 dažam fiziskam skaitlim x, šajā gadījumā tas atbilst apgalvojumam, patiesībā taisnība, jo x = 3 tas ir izpildīts.

Pēdējie divi apgalvojumi neatbilst piedāvājumam, jo ​​nav iespējams tos noliegt vai apstiprināt.

Divus vai vairākus priekšlikumus var kombinēt (vai pievienot), izmantojot zināmos savienotājelementus (vai savienotājus). Tie ir:

  • Noliegums: "Tas nav līst".
  • Disjunkcija: "Luisa nopirka baltu vai pelēku maisu".
  • Savienojums: "42= 16 un 2 × 5 = 10 ".
  • Nosacījums: "Ja lietus, tad pēcpusdienā man nav jāiet uz sporta zāli".
  • Biconditional: "Es pēcpusdienā dodies uz sporta zāli, ja vien un tikai tad, ja tas nav lietus".

Piedāvājums, kam nav iepriekšējo saikni, tiek saukts par vienkāršu piedāvājumu (vai atomu). Piemēram, "2 ir mazāks par 4", ir vienkāršs piedāvājums. Priekšlikumus, kuriem ir dažas saiknes, sauc par saliktiem piedāvājumiem, piemēram, "1 + 3 = 4 un 4 ir vienāds skaits".

Ar izteikumiem izteiktie apgalvojumi parasti ir garš, tāpēc ir garlaicīgi tos vienmēr rakstīt, kā mēs līdz šim esam redzējuši. Šī iemesla dēļ tiek izmantota simboliska valoda. Priekšlikumus parasti pārstāv lielie burti, piemēram, P, Q, R, S, utt. Un simboliskais savienojums ir šāds:

Tātad

The savstarpējs nosacītā piedāvājuma

ir piedāvājums

Un pretrunā (vai contrapositive) no piedāvājuma

ir piedāvājums

Patiesības tabulas

Vēl viens svarīgs loģikas jēdziens ir patiesības tabulas. Piedāvājuma patiesības vērtības ir divas iespējas, kas ir pieejamas piedāvājumam: taisnība (kas tiks apzīmēta ar V un tā patiesības vērtība būs V) vai nepatiesa (kas tiks apzīmēta ar F un tā vērtība tiks teikta tas tiešām ir F).

Kombinētā piedāvājuma patiesā vērtība ir atkarīga tikai no tajā parādīto vienkāršo priekšlikumu patiesības vērtībām.

Vispārīgākai darbībai mēs neņemsim vērā konkrētus priekšlikumus, bet gan piedāvātos mainīgos p, q, r, s, utt., kas pārstāv visus priekšlikumus.

Izmantojot šos mainīgos lielumus un loģiskos savienojumus, labi zināmās formulas formulētas tieši tāpat kā saliktas formulas.

Ja katrs no mainīgajiem, kas parādās piedāvājuma formulā, tiek aizstāts ar priekšlikumu, tiek iegūts kompozīta piedāvājums.

Tālāk ir redzamas loģisko savienojumu patiesības tabulas:

Pastāv formulējuma formulas, kas saņem tikai V vērtību patiesības tabulā, proti, to patiesās tabulas pēdējā kolonnā ir tikai V vērtība. Šāda veida formulas sauc par tautoloģijām. Piemēram:

Turpmāk ir formulas patiesības tabula

Ir teikts, ka formula α loģiski nozīmē citu formulu β, ja α ir taisnība, katru reizi β ir taisnība. Tas nozīmē, ka α un β patiesības tabulā rindām, kurās α ir V, β, ir arī V. Tikai tās rindas, kurās α ir V vērtība, ir loģiskas nozīmes apzīmējums. :

Tabulā ir apkopotas loģiskās sekas:

Ir teikts, ka divas formulējuma formulas ir loģiski līdzvērtīgas, ja to patiesības tabulas ir identiskas. Lai izteiktu loģisko ekvivalenci, izmanto šādu apzīmējumu:

Turpmākajās tabulās ir apkopotas loģiskās ekvivalences īpašības:

Matemātiskās loģikas veidi

Ir dažādi loģikas veidi, īpaši, ja ņem vērā pragmatisko vai neformālo loģiku, kas norāda uz filozofiju, cita starpā..

Attiecībā uz matemātiku loģikas veidus var apkopot šādi:

  • Formālā vai aristoteliskā loģika (senā loģika).
  • Propozējošā loģika: ir atbildīga par visu to jautājumu izpēti, kas saistīti ar argumentu un priekšlikumu derīgumu, izmantojot formālu valodu un simbolisku.
  • Simboliskā loģika: koncentrējas uz kopu un to īpašību izpēti, arī ar formālu un simbolisku valodu, un ir cieši saistīta ar piedāvājuma loģiku.
  • Kombinatoriskā loģika: viens no nesen izstrādātajiem, ietver rezultātus, kurus var izstrādāt ar algoritmiem.
  • Loģiskā programmēšana: izmanto dažādās pakotnēs un programmēšanas valodās.

Apgabali

Starp jomām, kas izmanto matemātisko loģiku neizbēgamā veidā savu argumentāciju un argumentu izstrādē, tās izceļ filozofiju, teorijas, skaitļu teorijas, konstruktīvās algebriskās matemātikas un programmēšanas valodas..

Atsauces

  1. Aylwin, C. U. (2011). Loģika, komplekti un numuri. Mérida - Venecuēla: Publikāciju padome, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., un Soto, A. (1998). Ievads skaitļu teorijā. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Skaitļu teorijas pamatkurss. Ziemeļu universitāte.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kā attīstīt matemātisko loģisko pamatojumu. University Editorial.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Ciparu teorija. Redakcijas vīzijas grāmatas.