Morgana likumi



LMorgan acis tie ir secinājuma loģikā izmantotie secinājumi, kas nosaka, kas ir disjunkcijas nolieguma un priekšlikumu vai piedāvājuma mainīgo apvienojuma rezultāts. Šos likumus noteica matemātiķis Augustus De Morgan.

Morgana likumi ir ļoti noderīgs instruments, lai pierādītu matemātiskā pamatojuma derīgumu. Vēlāk matemātiķis Džordžs Būls tos vispārināja ar kopu koncepciju.

Šī Booles veiktā vispārināšana ir pilnīgi līdzvērtīga Morgana sākotnējiem likumiem, bet tā ir izstrādāta tieši komplektiem, nevis priekšlikumiem. Šī vispārināšana ir pazīstama arī kā Morgana likumi.

Indekss

  • 1 Piedāvātās loģikas pārskats
    • 1.1. Fallacy
    • 1.2. Priekšlikumi
  • 2 Morgan likumi
    • 2.1 Demonstrācija
  • 3 Komplekti
    • 3.1 Savienība, krustošanās un komplekta papildinājumi
  • 4 Morgan likumi par komplektiem
  • 5 Atsauces

Piedāvātās loģikas pārskatīšana

Pirms apskatīt to, kas Morgan likumi ir īpaši un kā tie tiek izmantoti, ir ērti atcerēties dažus priekšlikuma loģikas pamatjēdzienus. (Sīkāku informāciju skatīt piedāvājuma loģikas rakstā).

Matemātiskās (vai ierosinošās) loģikas jomā secinājums ir secinājums, ko izdala telpu kopums vai hipotēzes. Šis secinājums kopā ar minētajām telpām rada to, ko sauc par matemātisko pamatojumu.

Šim pamatojumam jābūt spējīgam pierādīt vai liegt; tas nozīmē, ka ne visi secinājumi vai secinājumi matemātiskā pamatojumā ir derīgi.

Fallacy

Viltus secinājums, kas izriet no noteiktiem pieņēmumiem, kas tiek uzskatīti par patiesiem, ir pazīstams kā maldīgs. Maldībām ir īpatnība, ka tie ir argumenti, kas šķiet pareizi, bet matemātiski tie nav.

Proporcionālā loģika ir atbildīga par to, lai precīzi izstrādātu un nodrošinātu metodes, ar kurām bez jebkādas neskaidrības var apstiprināt vai atspēkot matemātisku pamatojumu; tas ir, secināt, ka no telpām ir derīgs secinājums. Šīs metodes ir pazīstamas kā secinājuma noteikumi, kuru sastāvdaļa ir Morgana likumi.

Priekšlikumi

Piedāvātās loģikas būtiskie elementi ir priekšlikumi. Priekšlikumi ir apgalvojumi, par kuriem var pateikt, vai tie ir derīgi vai nav, bet vienlaikus tie nevar būt patiesi vai nepatiesi. Šajā jautājumā nedrīkst būt nekādas neskaidrības.

Tāpat kā numurus var apvienot ar pievienošanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas operācijām, priekšlikumus var vadīt, izmantojot zināmos saiknes (vai savienotājus) loģiski: noliegums (¬, "nē"), disjunkcija (V , "O"), savienojums (Ʌ, "un"), nosacīts (→, "ja ..., tad ...") un divdzimumu (↔, "jā, un tikai tad, ja").

Lai strādātu vispārīgāk, tā vietā, lai apsvērtu konkrētus priekšlikumus, mēs uzskatām, ka ir pakārtoti mainīgie, kas pārstāv jebkurus priekšlikumus, un parasti tiek apzīmēti ar mazajiem burtiem p, q, r, s utt..

Piedāvātais formulējums ir piedāvājuma mainīgo kombinācija, izmantojot kādu loģisku saiti. Citiem vārdiem sakot, tas ir piedāvājuma mainīgo sastāvs. Tos parasti apzīmē ar grieķu burtiem.

Ir teikts, ka piedāvājuma formula loģiski nozīmē citu, ja tā ir taisnība katru reizi, kad pirmais ir taisnība. To apzīmē ar:

Ja loģiskā ietekme starp divām formulējošām formulām ir savstarpēja - tas ir, ja iepriekšējā ietekme ir spēkā arī pretējā virzienā - formulas tiek uzskatītas par loģiski ekvivalentām, un to apzīmē ar

Loģiskā līdzvērtība ir sava veida līdztiesība starp formulējuma formulām un, ja nepieciešams, ļauj to aizstāt ar otru.

Morgana likumi

Morgan likumi sastāv no divām loģiskām ekvivalentām starp divām piedāvājuma formām, proti:

Šie likumi ļauj atdalīt disjunkcijas vai savienojuma noliegumu, kā arī iesaistīto mainīgo noliegumus.

Pirmo var lasīt šādi: disjunkcijas noliegums ir vienāds ar negāciju savienojumu. Un otrais ir šāds: savienojuma noliegšana ir negāciju disfunkcija.

Citiem vārdiem sakot, lai noliegtu divu piedāvājuma mainīgo atdalīšanu, tas ir līdzvērtīgs abu mainīgo negāciju kombinācijai. Tāpat, lai noliegtu divu piedāvājuma mainīgo savienojumu, tas ir līdzvērtīgs abu mainīgo negatīvu atdalīšanai.

Kā minēts iepriekš, šīs loģiskās ekvivalences aizstāšana palīdz demonstrēt svarīgus rezultātus, kā arī citus spēkā esošos secinājumus. Ar šiem līdzekļiem jūs varat vienkāršot daudzas piedāvājuma formulas, lai tās būtu noderīgākas darbam.

Tālāk sniegts piemērs matemātiskam pierādījumam, izmantojot šos Morgan likumus. Konkrēti, tiek parādīts, ka formula:

ir līdzvērtīgs:

Pēdējais ir vienkāršāk saprotams un attīstāms.

Demonstrācija

Ir vērts pieminēt, ka Morgan likumu derīgumu var pierādīt matemātiski. Viens veids ir salīdzināt jūsu patiesības tabulas.

Iestata

Tāpat var izstrādāt tos pašus secinājumus un loģikas jēdzienus, kas attiecas uz piedāvājumiem. Tas ir tas, ko sauc par Būla algebru, pēc matemātiķa Džordža Būla.

Lai diferencētu gadījumus, ir jāmaina apzīmējums un pārnešana uz kopām, visi jēdzieni, kas jau ir redzami piedāvājuma loģikā.

Komplekts ir objektu kolekcija. Komplekti tiek apzīmēti ar lielajiem burtiem A, B, C, X, un komplekta elementi apzīmēti ar mazajiem burtiem a, b, c, x utt. Ja elements a pieder kopai X, to apzīmē ar:

Ja tas nepieder X, apzīmējums ir:

Veids, kā attēlot komplektus, ir izvietot to elementus atslēgās. Piemēram, dabisko numuru kopu attēlo:

Komplektus var arī attēlot bez rakstiska to elementu saraksta. Tos var izteikt formā :. Abi punkti ir "tādi, ka". Mainīgais, kas attēlo komplekta elementus, tiek novietots pa kreisi no diviem punktiem, un īpašums vai stāvoklis, ko tie apmierina, atrodas labajā pusē. Tas ir:

Piemēram, veselus skaitļus, kas ir lielāki par -4, var izteikt kā:

Vai arī līdzvērtīgi un saīsinātāk, kā:

Līdzīgi sekojošie izteicieni ir vienādu un nepāra numuru kopumi, attiecīgi:

Savienība, krustošanās un komplekta papildinājumi

Tālāk mēs redzēsim loģiskā saiknes analogus komplektu gadījumā, kas ir daļa no pamatdarbībām starp komplektiem.

Savienība un krustošanās

Savienojumu un kopu krustošanās tiek definētas attiecīgi šādā veidā:

Piemēram, apsveriet komplektus:

Tad jums ir:

Papildinājums

Komplektu komplektu veido elementi, kas nepieder šai kopai (tāda paša tipa, kā oriģināls). A komplekta papildinājums ir apzīmēts ar:

Piemēram, dabisko skaitļu ietvaros vienādo skaitļu komplekta papildinājums ir nepāra skaitļu kopums un otrādi.

Lai noteiktu komplekta papildinājumu, jau no paša sākuma ir jābūt skaidri redzamam universālajam vai galvenajam elementu kopumam. Piemēram, nav vienādi apsvērt komplekta papildinājumu par dabiskajiem skaitļiem, kas ir racionāli.

Nākamajā tabulā ir parādīta saistība vai analoģija, kas pastāv starp operācijām iepriekš definētajās kopās, un saistošo loģikas loģiku:

Morgan likumi komplektiem

Visbeidzot, Morgan likumi par komplektiem ir:

Ar vārdiem: savienības papildinājums ir papildinājumu krustošanās, un krustojuma papildinājums ir papildinājumu savienība.

Pirmās vienlīdzības matemātisks pierādījums būtu šāds:

Otrā demonstrācija ir līdzīga.

Atsauces

  1. Almaguer, G. (2002). Matemātika 1. Redakcija Limusa.
  2. Aylwin, C. U. (2011). Loģika, komplekti un numuri. Mérida - Venecuēla: Publikāciju padome, Universidad de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., un Soto, A. (1998). Ievads skaitļu teorijā. EUNED.
  4. Castañeda, S. (2016). Skaitļu teorijas pamatkurss. Ziemeļu universitāte.
  5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Kā attīstīt matemātisko loģisko pamatojumu. University Editorial.
  6. Guevara, M. H. (s.f.). Numuru teorija. EUNED.
  7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Ciparu teorija. Redakcijas vīzijas grāmatas.