Sintētiskās nodaļas metode un atrisinātās nodarbības

The sintētiskais sadalījums tas ir vienkāršs veids, kā dalīt polinomu P (x) ar jebkuru no formas d (x) = x - c. Tas ir ļoti noderīgs instruments, jo papildus tam, lai ļautu sadalīt polinomas, tas arī ļauj mums novērtēt polinomu P (x) jebkurā c skaitlī, kas savukārt mums precīzi norāda, vai šis skaitlis ir nulle vai nav polinoma.

Pateicoties sadalīšanas algoritmam, mēs zinām, ka, ja mums ir divi polinomi P (x) un d (x) nav nemainīgs, ir polinomi q (x) un r (x) unikāls tāds, ka ir taisnība, ka P (x) = q (x) d (x) + r (x), kur r (x) ir nulle vai ir mazāka par q (x). Šie polinomi ir pazīstami kā koeficienti un atlikumi vai atpūta.

Gadījumos, kad polinoms d (x) ir formā x-c, sintētiskais sadalījums dod mums īsu veidu, kā atrast, kas ir q (x) un r (x).

Indekss

• 1 Sintētiskās sadalīšanas metode
• 2 Risinājumi atrisināti
  • 2.1 1. piemērs
  • 2.2. 2. piemērs
  • 2.3 3. piemērs
  • 2.4 4. piemērs
• 3 Atsauces

Sintētiskās sadalīšanas metode

Ļaujiet P (x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... + a₁x + a₀ polinoms, kuru mēs vēlamies sadalīt, un d (x) = x-c dalītājs. Lai sadalītu ar sintētisko sadalīšanas metodi, mēs rīkojamies šādi:

1 - Pirmajā rindā rakstām P (x) koeficientus. Ja kāda no X jaudām neparādās, tad nulli kā koeficientu.

2. Otrajā rindā, pa kreisi no a_n novietojiet c un zīmējiet sadalījuma līnijas, kā parādīts attēlā:

3. Mēs pazeminām galveno koeficientu uz trešo rindu.

Šajā izteiksmē b_n-1= a_n

4 - C reizina c ar galveno koeficientu b_n-1 un rezultāts ir uzrakstīts otrajā rindā, bet kolonnā pa labi.

5- Mēs pievienojam kolonnu, kurā mēs uzrakstījām iepriekšējo rezultātu, un rezultātu, ko mēs to norādījām; tas ir, tajā pašā kolonnā, trešajā rindā.

Pievienojot, mums ir rezultāts_n-1+c * b_n-1, kas ērtības labad izsauksim b_n-2

6- Mēs reizinām c ar iepriekšējo rezultātu un otrajā rindā rakstām rezultātu.

7- Mēs atkārtojam 5. un 6. soli, līdz mēs sasniedzam koeficientu a₀.

8- Rakstiet atbildi; tas ir, koeficients un atlikums. Tā kā mēs veicam n-pakāpes polinoma sadalījumu starp 1. pakāpes polinomu, mums ir tas, ka nopietnais pakāpes n-1 koeficients.

Koeficienta polinoma koeficienti būs trešās rindas numuri, izņemot pēdējo, kas būs atlikuma polinoma vai atlikuma atlikums.

Atrisinātās mācības

1. piemērs

Veiciet šādu sadalījumu pēc sintētiskās sadalīšanas metodes:

(x⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

Risinājums

Vispirms mēs uzrāda dividendes koeficientus šādi:

Tad mēs rakstām c kreisajā pusē, otrajā rindā kopā ar sadalīšanas līnijām. Šajā piemērā c = -1.

Mēs pazeminām galveno koeficientu (šajā gadījumā b_n-1 = 1) un reiziniet ar -1:

Mēs rakstām jūsu rezultātu otrajā rindā pa labi, kā parādīts tālāk:

Mēs pievienojam numurus otrajā slejā:

Mēs reizinām 2 ar -1 un uzrakstām rezultātu trešajā slejā, otrajā rindā:

Trešajā slejā pievienojam:

Mēs turpinām analogu, līdz mēs sasniedzam pēdējo sleju:

Tādējādi mums ir, ka pēdējais iegūtais skaitlis ir pārējais sadalījums, un atlikušie skaitļi ir koeficienta polinoma koeficienti. Tas ir rakstīts šādi:

Ja mēs vēlamies pārbaudīt, vai rezultāts ir pareizs, pietiek pārbaudīt, vai ir izpildīts šāds vienādojums:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Tāpēc mēs varam pārbaudīt, vai iegūtais rezultāts ir pareizs.

2. piemērs

Veiciet nākamo polinomu sadalījumu, izmantojot sintētisko sadalīšanas metodi

(7x³-x + 2): (x + 2)

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir termins x² tas neparādās, tāpēc mēs rakstīsim 0 kā koeficientu. Tātad, polinoms būtu kā 7x³+0x²-x + 2.

Mēs rakstām to koeficientus pēc kārtas, tas ir:

Otrajā rindā kreisajā pusē rakstām C = -2 vērtību un zīmējam sadalīšanas līnijas.

Mēs pazeminām galveno koeficientu b_n-1 = 7 un mēs to reizinām ar -2, rakstot rezultātu otrajā rindā pa labi.

Mēs pievienojam un turpinām, kā minēts iepriekš, līdz mēs sasniedzam pēdējo termiņu:

Šajā gadījumā pārējais ir r (x) = - 52, un iegūtais koeficients ir q (x) = 7x²-14x + 27.

3. piemērs

Vēl viens veids, kā izmantot sintētisko sadalījumu, ir šāds: pieņemsim, ka mums ir pakāpes n polinoms P (x) un mēs vēlamies zināt, kas ir vērtība, novērtējot to x = c.

Pēc sadalījuma algoritma mums ir iespēja rakstīt polinomu P (x) šādā veidā:

Šajā izteiksmē q (x) un r (x) ir attiecīgi koeficients un pārējais. Tagad, ja d (x) = x- c, novērtējot c polinomā, mēs atrodam:

Lai to izdarītu, mums tikai jāatrod r (x), un to mēs varam darīt, pateicoties sintētiskajam sadalījumam.

Piemēram, mums ir polinoms P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12x⁴-3x³+19x²-37x-37, un mēs vēlamies uzzināt, kāda ir tā vērtība, novērtējot to x = 5. Šim nolūkam veicam sadalījumu starp P (x) un d (x) = x -5 ar sintētisko sadalīšanas metodi:

Kad operācijas ir pabeigtas, mēs zinām, ka mēs varam rakstīt P (x) šādā veidā:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -x⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (x-5) + 4253

Tāpēc, novērtējot to, mums ir:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Kā redzams, ir iespējams izmantot sintētisko sadalījumu, lai atrastu polinoma vērtību, novērtējot to c, nevis vienkārši aizstājot c ar x. 

Ja mēs mēģinājām novērtēt P (5) tradicionālā veidā, mums būtu jāveic daži aprēķini, kas mēdz kļūt garlaicīgi.

4. piemērs

Polinomu sadalījuma algoritms ir izpildīts arī polinomiem ar sarežģītiem koeficientiem, un tāpēc mums ir, ka sintētiskās sadalīšanas metode darbojas arī minētajiem polinomiem. Tālāk mēs redzēsim piemēru.

Mēs izmantosim sintētisko sadalīšanas metodi, lai parādītu, ka z = 1+ 2i ir polinoma P (x) = x nulle.³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); tas ir, atlikušais sadalījums P (x) starp d (x) = x - z ir vienāds ar nulli.

Mēs turpinām kā iepriekš: pirmajā rindā rakstām P (x) koeficientus, tad otrajā mēs rakstām z un zīmējam sadalīšanas līnijas.

Mēs izveidojām nodaļu kā iepriekš; tas ir:

Mēs redzam, ka atlikums ir nulle; tāpēc secinām, ka z = 1+ 2i ir P (x) nulle.

Atsauces

1. Baldor Aurelio. Algebra. Patria Redakcijas grupa.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafiks, skaitliskais, algebriskais Pearson Education 7. izdevums.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Prentices zāle
4. Michael Sullivan. Precalculus 4. Ed. Pearson Education.
5. Sarkans Armando O. Algebra 1 6. Ed. Athenaeum.