Diskrēto varbūtības raksturlielumu un vingrinājumu sadalījums



The Diskrētie varbūtības sadalījumi ir funkcija, kas piešķir katram X (S) = x1, x2, ..., xi, ... elementam elementu, kur X ir dotais diskrētais nejaušais mainīgais un S ir tā parauga vieta, varbūtība, ka minētais notikums notiks. Šī X (S) funkcija f, kas definēta kā f (xi) = P (X = xi), dažkārt tiek saukta par varbūtības masas funkciju.

Šī varbūtību masa parasti tiek attēlota kā tabula. Tā kā X ir diskrēts nejaušais mainīgais, X (S) ir ierobežots notikumu skaits vai skaitāms bezgalība. Starp visbiežāk sastopamajām diskrētām varbūtības sadalēm ir vienāds sadalījums, binomālais sadalījums un Poisson sadalījums.

Indekss

  • 1 Raksturojums
  • 2 veidi
    • 2.1 Vienveidīgs sadalījums pa n punktiem
    • 2.2. Binomālais sadalījums
    • 2.3. Puasona sadalījums
    • 2.4 Hipergeometriskais sadalījums
  • 3 Risinājumi atrisināti
    • 3.1 Pirmais uzdevums
    • 3.2 Otrais uzdevums
    • 3.3 Trešais uzdevums
    • 3.4 Trešais uzdevums
  • 4 Atsauces

Funkcijas

Varbūtības sadalījuma funkcijai jāatbilst šādiem nosacījumiem:

Arī tad, ja X ņem tikai ierobežotu vērtību skaitu (piemēram, x1, x2, ..., xn), tad p (xi) = 0, ja i> ny, tāpēc bezgalīgā nosacījuma b sērija kļūst par ierobežotas sērijas.

Šī funkcija atbilst arī šādām īpašībām:

B ir notikums, kas saistīts ar nejaušu mainīgo lielumu X. Tas nozīmē, ka B ir X (S). Konkrētāk, pieņemsim, ka B = xi1, xi2, .... Tāpēc:

Citiem vārdiem sakot: notikuma B varbūtība ir vienāda ar atsevišķu rezultātu varbūtību summu, kas saistīta ar B.

No tā mēs varam secināt, ka, ja a < b, los sucesos (X ≤ a) y (a < X ≤ b)  son mutuamente excluyentes y, además, su unión es el suceso (X ≤ b), por lo que tenemos:

Veidi

Vienots sadalījums pa n punktiem

Tiek teikts, ka nejaušais mainīgais X seko sadalījumam, ko raksturo vienveidība n punktos, ja katrai vērtībai ir piešķirta tāda pati varbūtība. Tās varbūtības masas funkcija ir:

Pieņemsim, ka mums ir eksperiments, kam ir divi iespējamie iznākumi, tas var būt monētas tossēšana, kuras iespējamie rezultāti ir seja vai zīmogs, vai vesela skaita izvēle, kuras rezultāts var būt vienāds skaits vai nepāra skaitlis; šis eksperimenta veids ir pazīstams kā Bernoulli testi.

Kopumā divi iespējamie rezultāti tiek saukti par panākumiem un neveiksmēm, kur p ir veiksmes varbūtība un 1-p neveiksmes. Mēs varam noteikt x panākumu varbūtību n Bernoulli testos, kas ir neatkarīgi viens no otra ar šādu sadalījumu.

Binomālais sadalījums

Tā ir šī funkcija, kas atspoguļo varbūtību iegūt x panākumus n neatkarīgās Bernoulli testos, kuru panākumu varbūtība ir p. Tās varbūtības masas funkcija ir:

Nākamais grafiks attēlo varbūtības funkciju masu dažādām binomiskā sadalījuma parametru vērtībām.

Sekojošais sadalījums ir parādā franču matemātiķim Simeonam Poisson (1781-1840), kurš to ieguvis kā binomiskā sadalījuma robežas..

Puasona sadalījums

Ir teikts, ka nejaušam mainīgajam lielumam X ir parametra λ Poisson sadalījums, ja tas var pieņemt pozitīvos skaitļus 0,1,2,3, ... ar šādu varbūtību:

Šajā izteiksmē λ ir vidējais skaits, kas atbilst notikuma notikumiem katrai laika vienībai, un x ir notikumu skaits.

Tās varbūtības masas funkcija ir:

Pēc tam grafiks, kas attēlo iespējamās masas funkciju dažādām Poisson sadalījuma parametru vērtībām.

Ņemiet vērā, ka tik ilgi, kamēr panākumu skaits ir zems un binoma sadalījumā veikto testu skaits ir augsts, mēs vienmēr varam tuvināt šos sadalījumus, jo Poisson sadalījums ir binomiālā sadalījuma robeža..

Galvenā atšķirība starp šiem diviem sadalījumiem ir tā, ka, kamēr binoms ir atkarīgs no diviem parametriem, proti, n un p, Poisson's ir atkarīgs tikai no λ, ko dažkārt sauc par sadalījuma intensitāti..

Līdz šim mēs esam runājuši tikai par varbūtības sadalījumiem gadījumos, kad dažādie eksperimenti ir neatkarīgi viens no otra; tas ir, ja viena rezultāta rezultāts nav ietekmēts.

Ja notiek eksperimenti, kas nav neatkarīgi, hipergeometriskais sadalījums ir ļoti noderīgs.

Hipergeometriskais sadalījums

Ļaut N ir galīgo kopu objektu kopējais skaits, no kura mēs zināmā mērā varam identificēt k, veidojot apakškopu K, kura komplementu veido atlikušie N-k elementi.

Ja mēs nejauši izvēlamies n objektus, nejaušajam mainīgajam lielumam X, kas atspoguļo K objektu skaitu šajā vēlēšanās, ir N, n un k parametru hipergeometriskais sadalījums. Tās varbūtības masas funkcija ir:

Nākamais grafiks attēlo varbūtības funkciju masu dažādām hipergeometriskā sadalījuma parametru vērtībām.

Atrisinātās mācības

Pirmais uzdevums

Pieņemsim, ka varbūtība, ka radio caurule (ievietota noteikta veida iekārtās) darbojas vairāk nekā 500 stundas, ir 0,2. Ja tiek pārbaudītas 20 caurules, kāda ir varbūtība, ka tieši k no tiem darbosies vairāk nekā 500 stundas, k = 0, 1,2, ..., 20?

Risinājums

Ja X ir to cauruļu skaits, kas strādā vairāk nekā 500 stundas, mēs pieņemam, ka X ir binomālais sadalījums. Pēc tam

Un tā:

Attiecībā uz k≥11 varbūtības ir mazākas par 0,001

Tātad mēs varam redzēt, cik liela ir varbūtība, ka šie k strādā vairāk nekā 500 stundas, līdz tas sasniedz maksimālo vērtību (ar k = 4) un tad sāk samazināties.

Otrais uzdevums

Monēta tiek izmesta 6 reizes. Kad rezultāts ir dārgs, mēs sakām, ka tas ir veiksmīgs. Kāda ir varbūtība, ka divas sejas iznāks tieši?

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir tas, ka n = 6, un gan veiksmes, gan neveiksmes varbūtība ir p = q = 1/2

Tāpēc divu seju iespējamība (ti, k = 2) ir

Trešais uzdevums

Kāda ir varbūtība atrast vismaz četras sejas?

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir k = 4, 5 vai 6

Trešais uzdevums

Pieņemsim, ka 2% no rūpnīcā ražotiem izstrādājumiem ir bojāti. Atrodiet varbūtību P, ka 100 vienību paraugā ir trīs trūkumi.

Risinājums

Šādā gadījumā binomisko sadalījumu varētu izmantot n = 100 un p = 0,02, tādējādi iegūstot:

Tomēr, tā kā p ir mazs, mēs izmantojam Poisson aproksimāciju ar λ = np = 2. Tātad,

Atsauces

  1. Kai Lai Chung Elementārā ticamības teorija ar stohastiskiem procesiem. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Varbūtība un statistikas lietojumi. S.A. MEKSIKAS ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000. gada diskrētās matemātikas problēmas. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Varbūtības teorija un problēmas. McGRAW-HILL.