Algebriskie atvasinājumi (ar piemēriem)

The algebriskie atvasinājumi tie sastāv no atvasinātā materiāla izpētes konkrētā algebrisko funkciju gadījumā. Atvasinājuma jēdziena izcelsme ir atpakaļ uz Seno Grieķiju. Šī jēdziena izstrādi motivēja nepieciešamība atrisināt divas svarīgas problēmas - viena fizikā un otra matemātikā.

Fizikā atvasinājums atrisina kustīgā objekta momentānā ātruma noteikšanas problēmu. Matemātikā jūs varat atrast pieskares līniju līknei noteiktā punktā.

Lai gan ir tiešām daudz vairāk problēmu, kas tiek atrisinātas, izmantojot atvasinājumu, kā arī tās vispārinājumus, rezultāti, kas radās pēc tās koncepcijas ieviešanas.

Diferenciālā aprēķina pionieri ir Ņūtons un Leibnica. Pirms formālās definīcijas sniegšanas mēs izstrādāsim ideju no matemātikas un fiziskā viedokļa.

Indekss

• 1 Atvasinājums kā pieskares līnijas slīpums līdz līknei
• 2 Atvasinājums kā kustīga objekta momentānais ātrums
  • 2.1. Algebriskā funkcija
• 3 Atvasināšanas noteikumi
  • 3.1 Iegūti no konstantas
  • 3.2 Jaudas atvasinājums
  • 3.3. Iegūti no pievienošanas un atņemšanas
  • 3.4. Produkta atvasinājums
  • 3.5. Iegūti no koeficienta
  • 3.6 Ķēdes noteikums
• 4 Atsauces

Atvasinājums kā pieskares līnijas slīpums līdz līknei

Pieņemsim, ka funkcijas y = f (x) grafiks ir nepārtraukts grafiks (bez virsotnēm vai virsotnēm vai atdalījumiem), un ļaujiet A = (a, f (a)) būt fiksēts punkts. Mēs vēlamies atrast tangentes līnijas vienādojumu funkcijai f diagrammā A punktā.

Ņemiet jebkuru citu grafika punktu P = (x, f (x)), tuvu punktam A, un izvelciet secanta līniju, kas iet caur A un P. Sekants ir līnija, kas sagriež līknes grafiku vienā vai vairāk punktus.

Lai iegūtu vajadzīgo pieskares līniju, mums vajag tikai aprēķināt slīpumu, jo mums jau ir punkts uz līnijas: A punkts.

Ja mēs pārvietojam punktu P pa diagrammu un tuvinām to tuvāk punktam A, iepriekš minētā secanta līnija tuvosies pieskares līnijai, kuru mēs vēlamies atrast. Ievērojot robežu, kad "P ir tendence A", abas līnijas sakrīt, līdz ar to arī tās nogāzes.

Sekantlīnijas slīpumu nosaka

Teikt, ka P pieejas A ir līdzvērtīgas sakot, ka "x" tuvojas "a". Tādējādi pieskares līnijas slīpums ar f grafiku a punktā būs vienāds ar:

Iepriekš minētais izteiciens ir apzīmēts ar f '(a), un tas ir definēts kā funkcijas f atvasinājums punktā "a". Tad mēs redzam, ka analītiski, punkta atvasinājums no punkta ir robeža, bet ģeometriski tas ir līnijas, kas pieskaras punkta funkcijas grafam, slīpums.

Tagad mēs redzēsim šo jēdzienu no fizikas viedokļa. Mēs nonāksim pie tā paša iepriekšējās robežas izpausmes, kaut arī citādi, iegūstot vienprātīgu definīciju.

Atvasinājums kā kustīga objekta momentānais ātrums

Redzēsim īsu piemēru, ko nozīmē tūlītējais ātrums. Piemēram, kad tiek teikts, ka automašīna, kas sasniedz galamērķi, to darīja ar ātrumu 100 km stundā, kas nozīmē, ka vienā stundā brauca 100 km.

Tas nenozīmē, ka visā stundā automašīna vienmēr bija 100 km attālumā, automašīnas spidometrs dažos brīžos varēja atzīmēt mazāk vai vairāk. Ja viņam vajadzēja apstāties pie luksofora, ātrums šajā brīdī bija 0 km. Tomēr pēc vienas stundas maršruts bija 100 km.

Tas ir tas, ko sauc par vidējo ātrumu, un to nosaka koeficients no attāluma, kas nobraukts starp pagājušo laiku, kā mēs tikko redzējām. Savukārt momentānais ātrums ir tāds, kas iezīmē automašīnas spidometra adatu noteiktā brīdī (laikā).

Paskatīsimies uz to vispār. Pieņemsim, ka objekts pārvietojas pa līniju un ka šis pārvietojums ir attēlots ar vienādojumu s = f (t), kur mainīgais t mēra laiku un mainīgo s pārvietojumu, ņemot vērā tā sākumu mirklis t = 0, kad tas ir arī nulle, tas ir, f (0) = 0.

Šī funkcija f (t) ir pazīstama kā pozīcijas funkcija.

Tiek meklēta izteiksme objekta momentānajam ātrumam fiksētā mirklī "a". Šajā ātrumā mēs to atzīmēsim ar V (a).

Ļaujiet t būt jebkuram mirklim tuvu momentam "a". Laika intervālā starp "a" un "t" pozīcijas maiņu objektam piešķir f (t) -f (a).

Vidējais ātrums šajā laika intervālā ir:

Kura ir aptuvenais ātrums V (a). Šī tuvināšana būs labāka, jo t tuvinās "a". Tāpēc,

Ievērojiet, ka šī izteiksme ir vienāda ar to, kas iegūta iepriekšējā gadījumā, bet no citas perspektīvas. Tas ir tas, kas pazīstams kā funkcijas f atvasinājums punktā "a" un ir apzīmēts ar f '(a), kā minēts iepriekš.

Ņemiet vērā, ka, veicot izmaiņas h = x-a, mums ir tas, ka tad, kad "x" ir tendence "a", "h" mēdz būt 0, un iepriekšējais ierobežojums tiek pārveidots (līdzvērtīgi) uz:

Abi izteicieni ir līdzvērtīgi, bet dažreiz labāk ir izmantot vienu, nevis otru, atkarībā no gadījuma.

Funkcijas f atvasinājums tiek definēts vispārīgāk jebkurā punktā "x", kas pieder tās domēnam kā

Visbiežāk iezīmētais y = f (x) funkcijas atvasinājums ir tas, ko mēs tikko redzējām (f 'o un'). Tomēr vēl viens plaši izmantots apzīmējums ir Leibnizas apzīmējums, kas ir attēlots kā jebkurš no šiem izteicieniem:

Ņemot vērā to, ka atvasinājums būtībā ir ierobežojums, tas var vai nevar pastāvēt, jo ierobežojumi ne vienmēr pastāv. Ja tā ir, tad tiek teikts, ka konkrētā funkcija attiecīgajā punktā ir diferencējama.

Algebriskā funkcija

Algebriskā funkcija ir polinomu kombinācija, izmantojot summas, atņemšanas, produktus, koeficientus, pilnvaras un radikāļus.

Polinoms ir formas izpausme

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_n-2x^n-2+... + a₂x²+ a₁x + a₀

Kur n ir dabisks skaitlis un visi a_i, ar i = 0,1, ..., n, ir racionāli skaitļi un a_n≠ 0 Šajā gadījumā tiek teikts, ka šī polinoma pakāpe ir n.

Tālāk minēti algebrisko funkciju piemēri:

Šeit eksponenciālās, logaritmiskās un trigonometriskās funkcijas nav iekļautas. Atvasināšanas noteikumi, ko mēs redzēsim turpmāk, ir derīgi vispārējām funkcijām, bet mēs ierobežosim un piemērosim algebrisko funkciju gadījumā..

Apvedceļu noteikumi

Iegūti no konstantas

Tas nosaka, ka konstantes atvasinājums ir nulle. Tas ir, ja f (x) = c, tad f '(x) = 0. Piemēram, konstantas funkcijas 2 atvasinājums ir vienāds ar 0.

Iegūti no varas

Ja f (x) = xⁿ, tad f '(x) = nx^n-1. Piemēram, x atvasinājums³ Tas ir 3x². Tā rezultātā mēs iegūstam, ka identitātes funkcijas f (x) = x atvasinājums ir f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Vēl viens piemērs ir šāds: jābūt f (x) = 1 / x², tad f (x) = x^-2 un f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Šī īpašība ir arī derīgas saknes, jo saknes ir racionālas pilnvaras un jūs varat piemērot iepriekš minēto arī šajā gadījumā. Piemēram, kvadrātsaknes atvasinājumu dod

Iegūti no summas un atņemšanas

Ja f un g ir diferencējamas funkcijas x, tad summa f + g ir arī atšķirīga un ka (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Līdzīgi, mums ir (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Citiem vārdiem sakot, summas atvasinājums (atņemšana) ir atvasinājumu summa (vai atņemšana).

Piemērs

Ja h (x) = x²+x-1, tad

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Iegūti no produkta

Ja f un g ir diferencējamas funkcijas x, tad produkts fg ir diferencējams arī x, un tas ir izpildīts

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Tā rezultātā mums ir, ka, ja c ir konstants un f ir diferencējama funkcija x, tad cf ir diferencējams arī x un (cf) '(x) = cf' (X).

Piemērs

Ja f (x) = 3x (x²+1), tad

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Iegūti no koeficienta

Ja f un g ir diferencējami x un g (x) ≠ 0, tad f / g ir diferencējams arī x, un ir taisnība, ka

Piemērs: ja h (x) = x³/ (x²-5x), tad

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Ķēdes noteikums

Šis noteikums ļauj atvasināt funkciju sastāvu. Tas nosaka: ja y = f (u) ir diferencējams u, yu = g (x) ir diferencējams x, tad savienojuma funkcija f (g (x)) ir diferencējama x un ir pārliecināta, ka [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Tas nozīmē, ka saliktās funkcijas atvasinājums ir ārējās funkcijas atvasinājuma (ārējā atvasinātā) rezultāts ar iekšējā funkcijas atvasinājumu (iekšējais atvasinājums).

Piemērs

Ja f (x) = (x⁴-2x)³, tad

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Ir arī rezultāti, lai aprēķinātu funkcijas apgrieztā atvasinājuma atvasinājumu, kā arī vispārinājumu augstāku secību atvasinājumiem. Pieteikumi ir plaši. Viņu vidū viņi uzsvēra savus komunālos pakalpojumus optimizācijas un maksimālo un minimālo funkciju problēmās.

Atsauces

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferenciālais aprēķins. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Aprēķins 4000. Redakcijas Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Matemātika pirms aprēķināšanas. Medeljinas Universitāte.
4. Eduardo, N. A. (2003). Ievads aprēķinā. Sliekšņa izdevumi.
5. Avoti, A. (2016). PAMATMATEMĀTIKA. Ievads aprēķinā. Lulu.com.
6. Purcell, E. J., Rigdon, S.E. un Varbergs, D.E. (2007). Aprēķins. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Diferenciālais aprēķins (Otrais izdevums). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, G. B., un Weir, M. D. (2006). Aprēķins: vairāki mainīgie. Pearson Education.