Secīgi atvasinājumi (ar atrisinātām vingrinājumiem)

The secīgi atvasinājumi ir funkcijas atvasinājumi pēc otrā atvasinājuma. Secīgo atvasinājumu aprēķināšanas process ir šāds: mums ir funkcija f, ko mēs varam iegūt un tādējādi iegūt atvasinājumu funkciju f '. Šim f atvasinājumam mēs to varam atkal iegūt, iegūstot (f ')'.

Šo jauno funkciju sauc par otro atvasinājumu; visi atvasinājumi, kas aprēķināti no otrā, ir secīgi; tiem, ko sauc arī augstākas pakāpes, ir lieli lietojumprogrammas, piemēram, sniedzot informāciju par pēdām grafika par funkciju testu otrajā atvasinātā relatīvo ārkārtējs un identificēt bezgalīgo sēriju.

Indekss

• 1 Definīcija
  • 1.1 1. piemērs
  • 1.2. 2. piemērs
• 2 Ātrums un paātrinājums
  • 2.1 1. piemērs
  • 2.2. 2. piemērs
• 3 Pieteikumi
  • 3.1. Vienkāršotā atvasināšana
  • 3.2 Piemērs
  • 3.3. Relatīvie mērķi
  • 3.4 Piemērs
  • 3.5. Taylor sērija
  • 3.6 Piemērs
• 4 Atsauces

Definīcija

Izmantojot Leibnizas apzīmējumu, mums ir, ka funkcijas "un" atvasinājums attiecībā uz "x" ir dy / dx. Lai izteiktu otro atvasinājumu "un", izmantojot Leibniz apzīmējumu, mēs rakstām šādi:

Kopumā ar Leibniz apzīmējumu mēs varam izteikt secīgos atvasinājumus, kur n ir atvasinātā instrumenta secība.

Citi izmantotie apzīmējumi ir šādi:

Daži piemēri, kuros mēs varam redzēt dažādus apzīmējumus, ir šādi:

1. piemērs

Iegūstiet visus funkcijas f atvasinājumus, ko nosaka:

Izmantojot parastās atvasināšanas metodes, mums ir, ka f atvasinājums ir:

Atkārtojot procesu, mēs varam iegūt otro atvasinājumu, trešo atvasinājumu un tā tālāk.

Ņemiet vērā, ka ceturtais atvasinājums ir nulle un nulles atvasinājums ir nulle, tāpēc mums ir:

2. piemērs

Aprēķiniet ceturtā atvasinājuma šādu funkciju:

Iegūstot konkrēto funkciju, mums ir:

Ātrums un paātrinājums

Viens no iemesliem, kas noveda pie atvasinājuma atklāšanas, bija momentāna ātruma definīcijas meklēšana. Formālā definīcija ir šāda:

Ļaujiet y = f (t) būt funkcija, kuras grafiks apraksta daļiņu trajektoriju brīdi t, tad tā ātrumu t t aprēķina:

Kad iegūts daļiņu ātrums, mēs varam aprēķināt momentāno paātrinājumu, kas ir definēts šādi:

Daļiņu momentānais paātrinājums, kura ceļu nosaka y = f (t), ir:

1. piemērs

Daļiņa pārvietojas uz līnijas atbilstoši pozīcijas funkcijai:

Ja "y" mēra metros un "t" sekundēs.

- Kādā brīdī jūsu ātrums ir 0?

- Kādā brīdī jūsu paātrinājums ir 0?

Iegūstot pozīcijas funkciju "un", mums ir, ka tā ātrums un paātrinājums ir attiecīgi norādīts:

Lai atbildētu uz pirmo jautājumu, ir pietiekami noteikt, kad funkcija v kļūst par nulli; tas ir:

Mēs turpinām sekojošu jautājumu:

2. piemērs

Daļiņa pārvietojas uz līnijas saskaņā ar šādu kustības vienādojumu:

Nosakiet "t, y" un "v", ja a = 0.

Zinot, ka ātrumu un paātrinājumu dod

Mēs turpinām iegūt un iegūt:

Darot a = 0, mums ir:

No kuras mēs varam secināt, ka t vērtība a ir vienāda ar nulli ir t = 1.

Pēc tam, novērtējot pozīcijas funkciju un ātruma funkciju t = 1, mums ir:

Programmas

Vienkāršota atvasināšana

Secīgus atvasinājumus var iegūt arī ar netiešu atvasinājumu.

Piemērs

Ņemot vērā šādu elipse, atrodiet "un":

Netieši izrietot no x, mums ir:

Tad, atkārtoti atvasinot netieši attiecībā uz x, tas dod mums:

Visbeidzot, mums ir:

Relatīvie mērķi

Vēl viens pielietojums, ko varam dot otrās kārtas atvasinājumiem, ir funkcijas relatīvo galu aprēķināšana.

Atvasinājums tests vietējai ārkārtējs stāsta mums, ka tad, ja mums ir nepārtraukta funkcija f kādā intervālā (a, b) un c tur ir pieder teica klāsts, zūd f'se c (ti, ka C ir kritisks punkts), var rasties viens no šiem trim gadījumiem:

- Ja f '(x)> 0 jebkuram x, kas pieder pie (a, c) un f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Ja f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 x, kas pieder pie (c, b), tad f (c) ir vietējais minimums.

- Ja f '(x) ir vienāda zīme (a, c) un (c, b), tas nozīmē, ka f (c) nav vietējais beigu punkts.

Izmantojot otro atvasinātu testu var pateikt, ja kritiskā skaits funkcija ir maksimālā vai vietējā minimums, bez redzētu zīmi funkcijas, kas iepriekš intervāliem.

Otrā drifta kritērijs stāsta mums, ka tad, ja f '(c) = 0 un f "(x) ir nepārtraukta (a, b), rodas, ja f" (c)> 0, tad f (c) ir vietējais minimums un ja f "(c) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Ja f "(c) = 0, mēs nevaram noslēgt neko.

Piemērs

Ņemot vērā funkciju f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², atrast f relatīvos maksimumus un minimumus, piemērojot otrā atvasinājuma kritēriju.

Vispirms mēs aprēķinām f '(x) un f "(x), un mums ir:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Tagad, f '(x) = 0 tad un tikai tad, ja 4x (x + 2) (x - 1) = 0, un tas notiek, ja x = 0, x = 1 vai x = - 2.

Lai noteiktu, vai iegūtie kritiskie skaitļi ir relatīvi galēji, pietiek novērtēt f "un tādējādi ievērot tā zīmi.

f "(0) = - 8, tāpēc f (0) ir vietējais maksimums.

f "(1) = 12, tāpēc f (1) ir vietējais minimums.

f "(- 2) = 24, tāpēc f (- 2) ir vietējais minimums.

Taylor sērija

Ļaut f ir funkcija, kas definēta šādi:

Šai funkcijai ir konverģences rādiuss R> 0, un tam ir visu pasūtījumu atvasinājumi (-R, R). F secīgie atvasinājumi mums dod:

Ņemot x = 0, mēs varam iegūt c vērtības_n pamatojoties uz tā atvasinājumiem,

Ja mēs izmantojam n = 0 kā funkciju f (tas ir, f ^ 0 = f), tad mēs varam pārrakstīt šo funkciju šādi:

Tagad apsveriet funkciju kā virkni pilnvaru x = a:

Ja mēs veicam analoģisku analīzi iepriekšējai, mums ir jāraksta funkcija f kā:

Šīs sērijas ir pazīstamas kā Taylor sērija f. Kad a = 0, mums ir īpašs gadījums, ko sauc par Maclaurin sēriju. Šāda veida sērijām ir liela matemātiskā nozīme, jo īpaši skaitliskajā analīzē, jo, pateicoties tiem, varam definēt funkcijas datoros, piemēram,^x , sin (x) un cos (x).

Piemērs

Iegūstiet Maclaurin sēriju e^x.

Ņemiet vērā, ka, ja f (x) = e^x, tad f⁽ⁿ⁾(x) = e^x un f⁽ⁿ⁾(0) = 1, tāpēc viņa Maclaurin sērija ir:

Atsauces

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5-kārtīgs aprēķins. Mc Graw kalns.
2. Leithold, L. (1992). APRĒĶINĀŠANA ar analītisko ģeometriju. HARLA, S.A.
3. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Aprēķins. Meksika: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferenciālais aprēķins. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (s.f.). Visaptverošs aprēķins. Hypotenuse.