Aksiomātiskās metodes īpašības, soļi, piemēri



The aksiomātiska metode vai arī saukta par Axiomatics, ir oficiāla procedūra, ko izmanto zinātnes, ar kuru palīdzību tiek formulēti paziņojumi vai ierosinājumi, ko sauc par aksiomām, kas savstarpēji saistīti ar atskaitāmības attiecību un kas ir pamatā kādas sistēmas hipotēzei vai nosacījumiem..

Šī vispārējā definīcija ir jāiekļauj attīstībā, ko šī metodika ir bijusi visā vēsturē. Pirmkārt, ir senā metode vai saturs, dzimis senajā Grieķijā no Eiklida ģeometrijas un vēlāk izstrādājis Aristotelis.

Otrkārt, jau 19. gadsimtā ģeometrijas izskats ar aksiomām atšķiras no Eiklida ģeometrijas. Un visbeidzot, formālā vai modernā aksiomātiskā metode, kuras maksimālais eksponents bija David Hilbert.

Papildus tās attīstībai laika gaitā šī procedūra ir bijusi pamatā deduktīvajai metodei, ko izmanto ģeometrijā un loģikā, kur tā ir radusies. To izmanto arī fizikā, ķīmijā un bioloģijā.

Un tas ir pat piemērots juridiskajai zinātnei, socioloģijai un politiskajai ekonomikai. Tomēr pašlaik tās svarīgākā darbības joma ir matemātika un simboliskā loģika un dažas fizikas nozares, piemēram, termodinamika, mehānika, starp citām disciplīnām..

Indekss

  • 1 Raksturojums 
    • 1.1. Vecā aksiomātiskā metode vai saturs 
    • 1.2. Ne-eiklīda aksiomātiskā metode
    • 1.3 Modernā vai formālā aksiomātiskā metode
  • 2 soļi 
  • 3 Piemēri
  • 4 Atsauces

Funkcijas

Lai gan šīs metodes pamatīpašība ir aksiomu formulēšana, tās ne vienmēr tiek ņemtas vērā vienādi.

Ir daži, kurus var definēt un konstruēt patvaļīgi. Un citi, saskaņā ar modeli, kurā tiek ņemta vērā tā intuitīvi garantētā patiesība.

Lai saprastu, kāda ir šī atšķirība un tās sekas, ir jāpārskata šīs metodes attīstība.

Vecā aksiomātiskā metode vai saturs 

Tas ir tas, kas izveidots Senajā Grieķijā ap 5. gadsimtu pirms mūsu ēras. Tās darbības joma ir ģeometrija. Šī posma pamatdarbs ir Eiklida ģeometrijas elementi, lai gan tiek uzskatīts, ka pirms viņa, Pitagors, jau bija dzemdējis aksiomātisku metodi.

Tādējādi grieķi ņem vērā konkrētus faktus kā aksiomas, neprasot nekādus loģiskus pierādījumus, tas ir, bez nepieciešamības demonstrēt, jo viņiem viņi ir pašsaprotama patiesība.

No savas puses Euclides piedāvā piecas ģeometrijas aksiomas:

1-Ņemot vērā divus punktus, ir līnija, kas satur vai savieno tos.

2-Jebkuru segmentu var turpināt nepārtrauktā līnijā abās pusēs.

3-Jūs varat zīmēt apli, kura centrā ir jebkurš punkts un jebkurš rādiuss.

4-taisnie leņķi ir vienādi.

5-Ņemot jebkuru taisnu līniju un jebkuru punktu, kas tajā nav, ir taisna līnija, kas ir paralēla tai un kas satur šo punktu. Šī aksioma vēlāk ir pazīstama kā paralēļu aksioma, un tā ir izteikta arī kā: ar punktu ārpus līnijas var uzzīmēt vienu paralēli.

Tomēr gan Eiklida ģeometrija, gan vēlāk matemātiķi piekrīt, ka piektā aksioma nav tik skaidra intuitīvi kā pārējā 4. Pat renesanses laikā mēģina secināt piekto no pārējiem 4, bet tas nav iespējams.

Tas ļāva, ka jau deviņpadsmitajā gadsimtā tie, kuri uzturēja piecus, bija eiklīda ģeometrijas atbalstītāji un tie, kuri noraidīja piekto, bija tie, kas radīja eiklīda ģeometrijas.

Ne-eiklīda aksiomātiskā metode

Tieši Nikolajs Ivanovičs Lobahevskis, Jānis Bolajs un Johans Kārlis Frīdrihs Gauss redz iespēju bez pretrunām veidot ģeometriju, kas nāk no euklīda atšķirīgajām aksiomu sistēmām. Tas iznīcina pārliecību par aksiomu un no tām izrietošo teoriju absolūtu vai a priori patiesību.

Tāpēc aksiomas sāk uztvert kā teorijas sākuma punktus. Arī gan viņu izvēle, gan to derīguma problēma vienā vai otrā veidā sāk attiekties uz faktiem ārpus aksiomātiskās teorijas.

Tādā veidā parādās ģeometriskās, algebriskās un aritmētiskās teorijas, kas konstruētas, izmantojot aksiomātisko metodi.

Šis posms beidzas ar aksiomātisku sistēmu izveidi aritmētiskai sistēmai, piemēram, Giuseppe Peano 1891. gadā; David Hubert ģeometrija 1899. gadā; Alfred North Whitehead un Bertrand Russell, Anglijā 1910. gadā, paziņojumi un iepriekšējie aprēķini; Ernsta Frīdriha Ferdinanda Zermelo kopu aksiomātiskā teorija 1908. gadā.

Modernā vai formālā aksiomātiskā metode

Dāvids Hūberts ierosina formālas aksiomātiskas metodes koncepciju, kas noved pie tā kulminācijas, David Hilbert.

Tieši Hilbert formalizē zinātnisko valodu, uzskatot, ka tās ir formulas vai zīmju secības, kurām nav nekādas nozīmes. Viņi iegūst nozīmi tikai noteiktā interpretācijā.

In "Ģeometrijas pamati"Izskaidro šīs metodikas pirmo piemēru. No šejienes ģeometrija kļūst par zinātni par tīriem loģiskām sekām, kas iegūtas no hipotēžu vai aksiomu sistēmas, kas ir labāk artikulēta nekā eiklīda sistēma..

Tas ir tāpēc, ka vecajā sistēmā aksiomātiskā teorija balstās uz aksiomu pierādījumiem. Kaut arī formālās teorijas pamats ir tās aksiomu pretrunības demonstrēšana.

Pakāpieni

Procedūra, kas veic aksiomātisku strukturēšanu zinātnes teorijās, atzīst:

a - noteiktu aksiomu skaita izvēli, tas ir, vairākus konkrētas teorijas priekšlikumus, kas tiek pieņemti bez nepieciešamības pierādīt.

b - koncepcijas, kas ir šo priekšlikumu daļa, nav noteiktas noteiktās teorijas ietvaros.

c - noteiktās teorijas definēšanas un atskaitīšanas noteikumi ir fiksēti un ļauj teorijā ieviest jaunus jēdzienus un loģiski secināt dažus no citiem.

d - pārējie teorijas priekšlikumi, ti, teorēma, tiek atvasināti no c, pamatojoties uz c.

Piemēri

Šo metodi var pārbaudīt, demonstrējot divus pazīstamākos Eiklida ģeometrijas teorēmas: kāju teorēmu un augstuma teorēmu..

Abi rodas no šī grieķu ģeometra novērojuma, ka, kad augstums ir attēlots attiecībā pret hipotenusu labajā trijstūrī, divi trīsstūri parādās vairāk nekā oriģināls. Šie trijstūri ir līdzīgi viens otram un vienlaikus ir līdzīgi izcelsmes trijstūrim. Tas nozīmē, ka to attiecīgās homologās puses ir proporcionālas.

Ir redzams, ka līdzīgi leņķi trijstūrēs šādā veidā pārbauda līdzību, kas pastāv starp trim trijstūriem, kas ir saistīti ar AAA līdzības kritēriju. Šis kritērijs nosaka, ka tad, ja diviem trijstūriem ir visi vienādi leņķi, tie ir līdzīgi.

Kad ir parādīts, ka trijstūri ir līdzīgi, var noteikt pirmajā teorēmā norādītās proporcijas. Tajā teikts, ka labajā trijstūrī katra katetus mērījumi ir ģeometriski proporcionāli vidēji starp hipotenūzi un katetas projekciju tajā..

Otrais teorēma ir augstums. Tajā norādīts, ka jebkurš labais trijstūris, augstums, kas tiek ņemts saskaņā ar hipotenusu, ir ģeometrisks proporcionāls vidējais starp segmentiem, ko nosaka minētais ģeometriskais vidējais lielums hipotenūze.

Protams, abiem teoremiem ir daudz pielietojumu visā pasaulē ne tikai izglītības, bet arī inženierzinātņu, fizikas, ķīmijas un astronomijas jomā..

Atsauces

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Ģeometrija, formālisms un intuīcija: David Hilbert un formālā aksiomātiskā metode (1895-1905). Filozofijas žurnāls, Vol. 39 Núm. 2, 121. - 146. lpp. No revistas.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Aksiomātiska doma. W. Ewald, redaktors, no Kanta līdz Hilbertam: avota grāmata matemātikas pamatā. II sējums, 1105. - 1114. lpp. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Kāda ir aksiomātiskā metode? Synthese, 2011. gada novembris, 189. sējums, 69. – 85. Ņemts no link.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Ievads mūsdienu tiesību filozofijā. (48. – 49. lpp.). Ņemts no books.google.com.ar.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Aksiomātiskā metode, lasot Ricardo Nirenberga, 1996. gada rudens, Albany universitāte, Projekta renesanses. Ņemts no Albany.edu.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert starp matemātikas formālo un neformālo pusi. Manuskripta vol. 38 Nr. 2, Campinas 2015. gada jūlijs / augusts. No scielo.br.