Pārveidota Laplasa definīcija, vēsture, kāda tā ir, īpašības



The pārveidots no Laplasa pēdējos gados ir bijusi liela nozīme inženierzinātņu, matemātikas, fizikas, citu zinātnes jomu pētījumos, kā arī ļoti interesanti par teorētisko, nodrošina vienkāršu veidu, kā atrisināt zinātnes un tehnikas problēmas..

Sākotnēji Laplasa transformāciju prezentēja Pierre-Simon Laplass savā pētījumā par varbūtības teoriju, un sākotnēji to uzskatīja par matemātisku priekšmetu tikai teorētiskām interesēm.

Pašreizējie pieteikumi rodas, kad dažādi matemātiķi mēģināja formāli pamatot "ekspluatācijas noteikumus", ko Heaviside izmantoja elektromagnētiskās teorijas vienādojumu pētījumā..

Indekss

  • 1 Definīcija
    • 1.1 Piemēri
    • 1.2. Teorēma (pietiekoši apstākļi pastāvēšanai)
    • 1.3 Dažu pamatfunkciju Laplasa transformācija
  • 2 Vēsture
    • 2,1 1782, Laplasa
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Rekvizīti
    • 3.1. Linearitāte
    • 3.2. Pirmā tulkošanas teorēma
    • 3.3. Otrais tulkošanas teorēma
    • 3.4 Mēroga maiņa
    • 3.5. Laplasa atvasinājumu atveidošana
    • 3.6. Laplasa pārveidošana integrāļiem
    • 3.7 Reizināšana ar tn
    • 3.8 Sadalījums pa t
    • 3.9 Periodiskas funkcijas
    • 3.10. F (-u) uzvedība, kad s mēdz būt bezgalībai
  • 4 Apgrieztās transformācijas
    • 4.1. Vingrinājums
  • 5 Laplasa transformācijas lietojumi
    • 5.1 Diferenciālvienādojumi
    • 5.2 Diferenciālvienādojumu sistēmas
    • 5.3 Mehānika un elektriskās ķēdes
  • 6 Atsauces

Definīcija

Ļaujiet f ir funkcija, kas definēta t ≥ 0. Laplasa transformācija ir definēta šādi:

Ir teikts, ka Laplasa Transformācija pastāv, ja iepriekšējās integrālās konverģē, pretējā gadījumā tiek teikts, ka Laplasa transformācija nepastāv.

Kopumā, lai apzīmētu funkciju, kuru vēlaties pārveidot, tiek izmantoti mazie burti un lielais burts atbilst tā pārveidošanai. Šādā veidā mums būs:

Piemēri

Apsveriet konstantu funkciju f (t) = 1. Mums ir, ka tās transformācija ir:

Ikreiz, kad integrējas, tas vienmēr tiek nodrošināts ar s> 0. Pretējā gadījumā s < 0, la integral diverge.

Ļaujiet g (t) = t. Jūsu Laplasa transformāciju sniedz

Integrējot ar daļām un zinot to-st tā mēdz būt 0, kad t tiecas uz bezgalību un s> 0, kopā ar iepriekšējo piemēru, ka:

Transformācija var vai nevar pastāvēt, piemēram, funkcijai f (t) = 1 / t integrālis, kas definē Laplasa transformāciju, nepārvēršas, un tāpēc tās transformācija nepastāv.

Pietiekami apstākļi, lai nodrošinātu, ka funkcijas flasa Laplasa transformācija pastāv, ir tas, ka f ir nepārtraukta t ≥ 0 daļās un ir eksponenciālā secībā.

Ir teikts, ka t ≥ 0 daļās funkcija ir nepārtraukta, kad jebkuram intervālam [a, b] ar a> 0 ir ierobežots punktu skaits.k, kur f ir pārtraukumi un katram apakšintervalam ir nepārtraukts [tk-1,tk].

No otras puses, tiek teikts, ka funkcija ir eksponenciālā secībā c, ja ir reālas konstantes M> 0, c un T> 0, kas:

Kā piemēri mums ir, ka f (t) = t2 ir eksponenciālā secībā, jo | t2| < e3t visiem t> 0.

Formālā veidā mums ir šāds teorēma

Teorēma (Pietiekami nosacījumi pastāvēšanai)

Ja f ir nepārtraukta funkcija katrai daļai t> 0 un eksponenciālā secībā c, tad ir Laplasa transformācija s> c.

Ir svarīgi uzsvērt, ka tas ir pietiekamības nosacījums, tas ir, var būt tā, ka pastāv funkcija, kas neatbilst šiem nosacījumiem, un pat tad, ja pastāv Laplasa transformācija.

Tā piemērs ir funkcija f (t) = t-1/2 tas nav nepārtraukts t ≥ 0 daļās, bet pastāv Laplasa transformācija.

Dažu pamatfunkciju Laplasa transformācija

Nākamajā tabulā ir parādītas visbiežāk sastopamo funkciju Laplasa transformācijas.

Vēsture

Laplasa transformācija savu nosaukumu pasniedz Pierre-Simon Laplace, matemātiķis un franču teorētiskais astronoms, kurš dzimis 1749. gadā un nomira 1827. gadā. Viņa slava bija tāda, ka viņš bija pazīstams kā Francijas Ņūtons.

1744. gadā Leonards Eulers savu formu veltīja integrāļiem

kā parasto diferenciālvienādojumu risinājumi, bet ātri atteicās no šīs izmeklēšanas. Vēlāk Joseph Louis Lagrange, kurš ļoti apbrīnoja Euleri, arī pētīja šāda veida integrālus un saistīja tos ar varbūtības teoriju..

1782, Laplasa

1782. gadā Laplasa sāka šos integrālus pētīt kā diferenciālvienādojumu risinājumus, un, pēc vēsturnieku domām, 1785. gadā viņš nolēma pārformulēt problēmu, kas vēlāk radīja Laplasas transformācijas, kā tas šodien saprotams.

Ieviešot varbūtību teorijas jomā, tas bija mazliet ieinteresēts laika zinātniekiem un tika uzskatīts tikai par teorētisko interešu matemātisko objektu..

Oliver Heaviside

Tas bija deviņpadsmitā gadsimta vidū, kad angļu inženieris Oliver Heaviside atklāja, ka diferenciāli operatori var tikt uzskatīti par algebriskiem mainīgajiem, tādējādi piešķirot to mūsdienīgai lietošanai Laplasa transformācijās.

Oliver Heaviside bija angļu fiziķis, elektroinženieris un matemātiķis, kurš dzimis 1850. gadā Londonā un nomira 1925. gadā. Mēģinot atrisināt diferenciālvienādojumu problēmas, kas attiecās uz vibrāciju teoriju un izmantojot Laplasa pētījumus, viņš sāka veidot Laplasa transformāciju modernās lietojumprogrammas.

Heaviside rezultāti strauji izplatījās visā zinātnes aprindās, bet, tā kā darbs nebija stingrs, to tradicionāli matemātiķi ātri kritizēja.

Tomēr Heaviside darba lietderība fizikas vienādojumu risināšanā padarīja viņa metodes populāras fiziķu un inženieru vidū.

Neskatoties uz šiem neveiksmēm un pēc dažu gadu desmitiem ilgiem neveiksmīgiem mēģinājumiem, 20. gadsimta sākumā varēja sniegt stingru pamatojumu Heaviside sniegtajiem darbības noteikumiem..

Šie mēģinājumi atmaksājās, pateicoties dažādu matemātiķu, piemēram, Bromwich, Carson, van der Pol, centieniem..

Rekvizīti

Starp Laplaslas transformācijas īpašībām ir šādi izceļas:

Linearitāte

Ļaujiet c1 un c2 būt konstantes un f (t) un g (t) funkcijas, kuru Laplasa transformācijas ir attiecīgi F (s) un G (s), tad mums ir:

Sakarā ar šo īpašību tiek teikts, ka Laplasa transformācija ir lineārs operators.

Piemērs

Pirmais tulkošanas teorēma

Ja tā notiek,

Un “a” ir reāls skaitlis, tad:

Piemērs

Kā cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) Laplasa transformācija:

Otrais tulkošanas teorēma

Jā

Pēc tam

Piemērs

Ja f (t) = t ^ 3, tad F (s) = 6 / s ^ 4. Un tāpēc, pārveidošana

ir G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Mēroga maiņa

Jā

Un “a” ir īsts nulles reāls, mums ir jābūt

Piemērs

Tā kā f (t) = sin (t) transformācija ir F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), tai jābūt

atvasinājumu Laplasa ransformācija

Ja f, f ', f ", ..., f(n) ir nepārtraukti t ≥ 0 un ir eksponenciālā secībā un f(n)(t) tad ir nepārtraukta t ≥ 0 daļās

Laplasa integrālu integrācija

Jā

Pēc tam

Reizināšana ar tn

Ja mums ir

Pēc tam

Sadalījums pa t

Ja mums ir

Pēc tam

Periodiskas funkcijas

Ļaujiet f būt periodiskai funkcijai ar periodu T> 0, tas ir, f (t + T) = f (t)

F (-u) uzvedība, kad s mēdz būt bezgalībai

Ja f ir nepārtraukta daļās un eksponenciālā secībā un

Pēc tam

Apgrieztās transformācijas

Kad mēs izmantojam Laplasa transformāciju uz funkciju f (t), iegūstam F (s), kas pārstāv šo transformāciju. Tādā pašā veidā mēs varam teikt, ka f (t) ir F (s) apgrieztā Laplasa transformācija un ir rakstīta kā

Mēs zinām, ka Laplasa transformācijas f (t) = 1 un g (t) = t ir F (s) = 1 / s un G (s) = 1 / s2 attiecīgi, tāpēc mums ir

Dažas kopējas apgrieztās Laplasa transformācijas ir šādas

Turklāt apgrieztā Laplasa transformācija ir lineāra, tas ir, tas ir izpildīts

Vingrojumi

Atrast

Lai šo uzdevumu atrisinātu, mums jāsakrīt ar funkciju F (s) ar vienu no iepriekšējām tabulām. Šādā gadījumā, ja mēs lietojam n + 1 = 5 un izmantojam inversijas transformācijas linearitātes īpašību, mēs reizinām un dalāmies ar 4! Getting

Otrajai apgrieztai transformācijai mēs izmantojam daļējas frakcijas, lai pārrakstītu funkciju F (s) un pēc tam lineārās īpašības, iegūstot

Kā redzams no šiem piemēriem, ir bieži, ka novērtētā funkcija F (s) precīzi nesakrīt ar kādu no tabulā norādītajām funkcijām. Šādos gadījumos, kā tas ir novērots, pietiek pārrakstīt šo funkciju līdz atbilstošās formas sasniegšanai.

Laplasas transformācijas lietojumi

Diferenciālvienādojumi

Laplasa transformāciju galvenais pielietojums ir diferenciālvienādojumu risināšana.

Izmantojot atvasinātā materiāla transformācijas īpašību, ir skaidrs, ka

Un no n-1 atvasinājumiem, kas novērtēti pēc t = 0.

Šī īpašība padara transformāciju ļoti noderīgu sākotnējo vērtību problēmu risināšanā, ja ir iesaistīti diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem.

Sekojošie piemēri parāda, kā izmantot Laplasa transformāciju diferenciālvienādojumu risināšanai.

1. piemērs

Ņemot vērā šādu sākotnējās vērtības problēmu

Lai atrastu risinājumu, izmantojiet Laplasa transformāciju.

Katru diferenciālvienādojuma dalībnieku izmantojam Laplasa transformāciju

Mums ir atvasinātā finanšu instrumenta pārveidošanas īpašums

Izstrādājot visu izteiksmi un mijieskaitu Un mēs esam palikuši

Izmantojot daļējas frakcijas, lai pārrakstītu iegūto vienādojumu labo pusi

Visbeidzot, mūsu mērķis ir atrast funkciju y (t), kas atbilst diferenciālvienādojumam. Izmantojot apgriezto Laplasa transformāciju, mēs iegūstam rezultātu

2. piemērs

Atrisiniet

Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, transformāciju piemērojam vienādojuma abās pusēs un atsevišķu termiņu.

Šādā veidā mums ir rezultāts

Aizvietošana ar norādītajām sākotnējām vērtībām un tīrīšana Y (s)

Izmantojot vienkāršas frakcijas, mēs varam pārrakstīt šo vienādojumu šādi

Un, piemērojot Laplasa apgriezto transformāciju, mēs to panākam

Šajos piemēros varētu nonākt pie nepareiza secinājuma, ka šī metode nav daudz labāka nekā tradicionālās metodes diferenciālvienādojumu risināšanai.

Laplasa transformācijas sniegtās priekšrocības ir tādas, ka nav nepieciešams izmantot parametru variāciju vai uztraukties par dažādiem nenoteikta koeficienta metodes gadījumiem..

Papildus sākotnējās vērtības problēmu risināšanai ar šo metodi no sākuma mēs izmantojam sākotnējos nosacījumus, tāpēc nav nepieciešams veikt citus aprēķinus, lai atrastu konkrēto risinājumu..

Diferenciālvienādojumu sistēmas

Laplasa transformāciju var izmantot arī, lai atrastu risinājumus vienlaicīgiem parastajiem diferenciālvienādojumiem, kā parādīts turpmākajā piemērā.

Piemērs

Atrisiniet

Ar sākotnējiem nosacījumiem x (0) = 8 e un (0) = 3.

Ja mums ir

Pēc tam

Rezultātu risināšana mums

Un, piemērojot Laplasa apgriezto transformāciju, mums ir

Mehānika un elektriskās ķēdes

Laplasa transformācija ir ļoti svarīga fizikā, galvenokārt izmanto mehāniskās un elektriskās ķēdes.

Vienkārša elektriskā ķēde sastāv no šādiem elementiem

Slēdzis, akumulators vai avots, induktors, rezistors un kondensators. Kad slēdzis ir aizvērts, tiek ģenerēta elektriskā strāva, ko apzīmē ar i (t). Kondensatora uzlādi apzīmē ar q (t).

Ar Kirchhoff otro likumu spriegumam, ko avots E rada slēgtajai ķēdei, jābūt vienādam ar katra sprieguma krituma summu.

Elektriskā strāva i (t) ir saistīta ar lādiņu q (t) kondensatorā ar i = dq / dt. No otras puses, sprieguma kritums katrā no elementiem ir definēts šādi:

Sprieguma kritums rezistorā ir iR = R (dq / dt)

Sprieguma kritums induktorā ir L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Sprieguma kritums kondensatorā ir q / C

Izmantojot šos datus un piemērojot otro Kirchhoff likumu slēgtajai vienkāršajai ķēdei, tiek iegūts otrās kārtas diferenciālvienādojums, kas apraksta sistēmu un ļauj noteikt q (t) vērtību..

Piemērs

Induktors, kondensators un rezistors ir savienots ar akumulatoru E, kā parādīts attēlā. Induktors sastāv no 2 vistām, 0,02 faradu kondensatora un 16 pretestības. Laikā t = 0 ķēde ir slēgta. Atrodiet slodzi un strāvu jebkurā laikā t> 0, ja E = 300 volti.

Mums ir, ka diferenciālvienādojums, kas apraksta šo ķēdi, ir šāds

Ja sākotnējie nosacījumi ir q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Piemērojot Laplasa transformāciju, mēs to saņemam

Un tīrīšana Q (t)

Pēc tam mēs izmantojam apgriezto Laplasa transformāciju

Atsauces

  1. G. Holbrook, J. (1987). Laplasa transformācija elektronikas inženieriem. Kaļķi.
  2. Ruiz, L. M., un Hernandezs, M. P. (2006). Diferenciālvienādojumi un Laplasa transformācija ar lietojumprogrammām. Redakcijas UPV.
  3. Simmons, G. F. (1993). Diferenciālvienādojumi ar pieteikumiem un vēsturiskām piezīmēm. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Laplasa transformācijas. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., un Cullen, M. R. (2008). Diferenciālvienādojumi ar vērtību problēmām pie robežas. Cengage Learning Editores, S.A..