Izometrisko transformāciju sastāvs, veidi un piemēri



The Izometriskās transformācijas tās ir noteiktas figūras pozīcijas vai orientācijas izmaiņas, kas nemaina ne tā formu, ne lielumu. Šīs transformācijas iedala trīs tipos: tulkošana, rotācija un atstarošana (izometrija). Kopumā ģeometriskās transformācijas ļauj izveidot jaunu skaitli no cita.

Pārveidošana ģeometriskā figūrā nozīmē, ka kaut kādā veidā tā tika pakļauta dažām izmaiņām; tas ir, ka tas tika mainīts. Saskaņā ar oriģināla jēgu un līdzīgām plaknē ģeometriskās transformācijas var iedalīt trīs tipos: izometriskais, izomorfs un anamorfs..

Indekss

  • 1 Raksturojums
  • 2 veidi
    • 2.1. Tulkojums
    • 2.2 Ar rotāciju
    • 2.3 Ar atstarošanu vai simetriju
  • 3 Sastāvs
    • 3.1. Tulkošanas sastāvs
    • 3.2. Rotācijas sastāvs
    • 3.3. Simetrijas sastāvs
  • 4 Atsauces

Funkcijas

Izometriskās transformācijas notiek, kad segmentu lielumi un leņķi starp sākotnējo skaitli un transformēto ir saglabāti.

Šāda veida transformācijā nav mainīta ne figūras forma, ne lielums (tie ir vienādi), tas ir tikai attēla stāvokļa maiņa, orientācijā vai virzienā. Tādējādi sākotnējie un galīgie skaitļi būs līdzīgi un ģeometriski līdzīgi.

Izometrija attiecas uz vienlīdzību; tas nozīmē, ka ģeometriskie skaitļi būs izometriski, ja tiem ir tāda pati forma un izmērs.

Izometriskajās transformācijās vienīgais, ko var novērot, ir stāvokļa maiņa plaknē, notiek stingra kustība, pateicoties kurai skaitlis sākas no sākuma stāvokļa līdz gala pozīcijai. Šo skaitli sauc par oriģinālu homologu (līdzīgu).

Ir trīs veidu kustības, kas klasificē izometrisko transformāciju: tulkošanu, rotāciju un atstarošanu vai simetriju.

Veidi

Pēc tulkojuma

Vai tie izometri, kas ļauj pārvietot taisnā līnijā visus plaknes punktus noteiktā virzienā un attālumā.

Kad skaitlis tiek pārveidots ar tulkojumu, tas nemaina tās orientāciju attiecībā pret sākotnējo stāvokli, kā arī nezaudē savus iekšējos pasākumus, tā leņķu un sānu izmērus. Šo pārvietojuma veidu nosaka trīs parametri:

- Adrese, kas var būt horizontāla, vertikāla vai slīpi.

- Sajūta, kas var būt pa kreisi, pa labi, uz augšu vai uz leju.

- Attālums vai lielums, kas ir garums no sākotnējā stāvokļa līdz jebkura punkta kustībai.

Lai izpildītu izometrisko pārveidojumu ar tulkojumu, tai jāatbilst šādiem nosacījumiem:

- Attēlā vienmēr ir jābūt visu izmēru, gan lineāro, gan leņķisko.

- Attēlā nav mainīta tās pozīcija attiecībā pret horizontālo asi; tas ir, tā leņķis nekad nav mainījies.

- Tulkojumi vienmēr tiks apkopoti vienā, neatkarīgi no veikto tulkojumu skaita.

Plaknē, kur centrs ir punkts O, ar koordinātām (0,0), tulkojumu nosaka vektors T (a, b), kas norāda sākotnējā punkta pārvietojumu. Tas ir:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Piemēram, ja koordinātu punktam P (8, -2) tiek piemērots tulkojums T (-4, 7), mēs iegūstam:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

Nākamajā attēlā (pa kreisi) var redzēt, kā punkts C pārvietojās, sakrītot ar punktu D. Tas notika vertikālā virzienā, virziens bija augšup un attālums vai lielums CD bija 8 metri. Labajā attēlā tiek novērots trijstūra tulkojums:

Pēc rotācijas

Tie ir tie izometri, kas ļauj skaitlim pagriezt visus plaknes punktus. Katrs punkts griežas pēc loka, kam ir nemainīgs leņķis un noteikts fiksēts punkts (rotācijas centrs).

Tas nozīmē, ka visu rotāciju nosaka tās rotācijas centrs un rotācijas leņķis. Kad skaitlis tiek pārveidots rotācijas rezultātā, tas saglabā tā leņķu un sānu izmērus.

Rotācija notiek noteiktā virzienā, ir pozitīva, ja rotācija ir pretēji pulksteņrādītāja kustības virzienam (pretēji tam, kā pulksteņa rokas rotējas) un negatīva, kad tā rotācija ir pulksteņrādītāja virzienā.

Ja punkts (x, y) tiek pagriezts attiecībā pret izcelsmi - tas ir, tā rotācijas centrs ir (0,0) - 90 ° leņķī.o līdz 360o Punktu koordinātas būs:

Gadījumā, ja rotācijas sākumpunkts nav centrēts, koordinātu sistēmas izcelsme jāpārceļ uz jauno konkrēto izcelsmi, lai varētu pagriezt skaitli, kura centrā ir izcelsme..

Piemēram, ja punktam P (-5.2) tiek piešķirta rotācija 90o, ap izcelsmes vietu un pozitīvā nozīmē tās jaunās koordinātas būs (-2,5).

Ar pārdomas vai simetriju

Tās ir tās transformācijas, kas apgriež plaknes punktus un skaitļus. Šis ieguldījums var attiekties uz punktu vai arī attiecībā uz taisnu līniju.

Citiem vārdiem sakot, šāda veida transformācijā katra sākotnējā attēla punkts ir saistīts ar citu homologa skaitļa punktu (attēlu) tādā veidā, ka punkts un tā attēls ir tādā pašā attālumā no līnijas, ko sauc par simetrijas asi..

Tādējādi attēla kreisā daļa būs labās puses atspoguļojums, nemainot tā formu vai izmērus. Simetrija pārveido vienu figūru citā, kaut arī pretējā virzienā, kā redzams šādā attēlā:

Simetrija ir daudzos aspektos, piemēram, dažos augos (saulespuķēs), dzīvniekos (pāvs) un dabas parādībās (sniegpārsla). Cilvēks to atspoguļo uz sejas, ko uzskata par skaistuma faktoru. Atstarojums vai simetrija var būt divu veidu:

Centrālā simetrija

Tieši šī transformācija notiek attiecībā uz punktu, kurā skaitlis var mainīt tās orientāciju. Katrs sākotnējā attēla punkts un tā attēls ir tādā pašā attālumā no punkta O, ko sauc par simetrijas centru. Simetrija ir centrāla, ja:

- Gan punkts, gan attēls un centrs pieder tai pašai līnijai.

- Ar rotāciju 180o centru O jūs iegūsiet skaitli, kas ir vienāds ar oriģinālu.

- Sākotnējā skaitļa gājieni ir paralēli veidotās figūras sitieniem.

- Attēla jēga nemainās, tā vienmēr būs pulksteņrādītāja virzienā.

Šī transformācija notiek attiecībā uz simetrijas asi, kur katrs sākotnējā skaitļa punkts ir saistīts ar citu attēla punktu, un tie ir tādā pašā attālumā no simetrijas ass. Simetrija ir aksiāla, ja:

- Segments, kas pievienojas punktam ar attēlu, ir perpendikulārs tās simetrijas asij.

- Skaitļi maina virzienu attiecībā pret pagriezienu vai pulksteņrādītāja virzienā.

- Sadalot skaitli ar centrālo līniju (simetrijas asi), viens no rezultāta pusēm pilnībā atbilst citai daļai.

Sastāvs

Izometrisko transformāciju sastāvs attiecas uz izometrisko transformāciju secīgu pielietošanu tajā pašā attēlā.

Tulkojuma sastāvs

Divu tulkojumu sastāvs rada citu tulkojumu. Kad tas izdarīts plaknē, uz horizontālās ass (x) mainās tikai šīs ass koordinātas, bet vertikālās ass (y) koordinātas paliek nemainīgas, un otrādi.

Rotācijas sastāvs

Divu apgriezienu sastāvs ar to pašu centru rada vēl vienu pagriezienu, kuram ir tāds pats centrs un kura amplitūda būs abu apgriezienu amplitūdu summa..

Ja centrs, kuram ir pagriezieni, ir atšķirīgs, divu līdzīgu punktu segmentu šķērsgriezums būs pagrieziena centrs.

Simetrijas sastāvs

Šādā gadījumā kompozīcija būs atkarīga no tā, kā tā tiek izmantota:

- Ja viena un tā pati simetrija tiek izmantota divreiz, rezultāts būs identitāte.

- Ja divas simetrijas tiek pielietotas attiecībā uz divām paralēlām asīm, rezultāts būs tulkojums, un tā nobīde ir divreiz lielāka par šo asu attālumu:

- Ja divas simetrijas tiek pielietotas attiecībā uz divām asīm, kas sagrieztas punktā O (centrs), tiks iegūta rotācija ar centru pie O un tā leņķis būs divreiz lielāks par leņķi, ko veido asis:

Atsauces

  1. V Burgués, J.F. (1988). Materiāli ģeometrijas veidošanai. Madride: Sintēze.
  2. Cesar Calavera, I. J. (2013). Tehniskais rasējums II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Ģeometrijas pamati Meksika: Limusa-Vīlija.
  4. Coxford, A. (1971). Ģeometrija A transformācijas pieeja. ASV: Laidlaw Brothers.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). CABRI vidē notiekošo cieto transformāciju mācīšana un formalizācija.
  6. , P. J. (1996). Plaknes izometriskā grupa. Madride: Sintēze.
  7. Suárez, A. C. (2010). Transformācijas plaknē. Gurabo, Puertoriko: AMCT .