Bayes teorēmas skaidrojums, lietojumprogrammas, vingrinājumi



The Bayes teorēma ir procedūra, kas ļauj izpaust nejauša notikuma A nosacīto varbūtību B, ņemot vērā notikuma B varbūtības sadalījumu A un tikai A varbūtības sadalījumu..

Šis teorēma ir ļoti noderīga, jo, pateicoties tam, mēs varam saistīt varbūtību, ka notikums A notiek, zinot, ka B noticis, ar varbūtību, ka notiks pretējs notikums, tas ir, ka B notiek, ņemot vērā A.

Bayes teorēma bija astoņpadsmitā gadsimta angļu teologa Reverend Thomas Bayes sudraba piedāvājums, kas bija arī matemātiķis. Viņš bija autors vairākiem teoloģijas darbiem, bet pašlaik ir pazīstams ar pāris matemātiskiem traktātiem, kuru galvenais rezultāts ir iepriekš minētais Bayes teorēma..

Bayes šo teorēmu aplūkoja 1763. Gadā publicētajā dokumentā "Eseja ceļā uz problēmu doktrīnas problēmu risināšanā", un par kuriem ir izstrādāti lieli darbi, lai atrisinātu problēmu doktrīnā. Pētījumi ar lietojumprogrammām dažādās zināšanu jomās.

Indekss

  • 1 Paskaidrojums
  • 2 Bayes teorijas pielietojumi
    • 2.1. Risinājumi
  • 3 Atsauces

Paskaidrojums

Pirmkārt, lai tālāk saprastu šo teorēmu, ir nepieciešami daži varbūtības teorijas pamatjēdzieni, jo īpaši reizināšanas teorēma nosacījuma varbūtībai, kas nosaka, ka

E un A izlases telpas S gadījuma notikumiem.

Un nodalījumu definīcija, kas mums norāda, ka, ja mums ir A1 ,A2,..., An parauga vietas S notikumi, tie veidos S nodalījumu, ja Ai tie ir savstarpēji izslēdzoši un viņu savienība ir S.

To darot, ļaujiet B būt citam notikumam. Tad mēs varam redzēt B kā

Kur Ai ar B ir savstarpēji izslēdzoši notikumi.

Un līdz ar to,

Tad, piemērojot reizināšanas teorēmu

No otras puses, nosacīto varbūtību Ai, kas dota B, nosaka

Pienācīgi aizvietojot jebkuru i

Bayes teorijas pielietojumi

Pateicoties šim rezultātam, pētniecības grupas un dažādas korporācijas ir spējušas uzlabot sistēmas, kas balstītas uz zināšanām.

Piemēram, slimību pētījumā Bayes teorēma var palīdzēt atklāt varbūtību, ka slimība tiks konstatēta cilvēku grupā ar noteiktu raksturlielumu, ņemot vērā slimības globālās likmes un minēto īpašību pārsvaru. cilvēki gan veselīgi, gan slimi.

No otras puses, augsto tehnoloģiju pasaulē, ir ietekmējusi lielus uzņēmumus, kas, pateicoties šim rezultātam, ir izstrādājuši programmatūru "Pamatojoties uz zināšanām"..

Kā ikdienas piemērs mums ir Microsoft Office palīgs. Bayes teorēma palīdz programmatūrai novērtēt problēmas, ko lietotājs prezentē un nosaka, kādas konsultācijas sniedz, un tādējādi var piedāvāt labāku pakalpojumu atbilstoši lietotāja ieradumiem..

Jāatzīmē, ka šī formula netika ņemta vērā līdz nesenam laikam, galvenokārt tāpēc, ka, kad šo rezultātu izstrādāja pirms 200 gadiem, tiem praktiski neizdevās. Tomēr mūsdienās, pateicoties lielajiem tehnoloģiskajiem sasniegumiem, zinātnieki ir sasnieguši veidus, kā šo rezultātu īstenot praksē.

Atrisinātās nodarbības

1. uzdevums

Šūnu uzņēmumam ir divas A un B mašīnas. 54% no saražotajiem mobilajiem tālruņiem izgatavo A mašīna un pārējie - ar mašīnu B. Ne visi ražotie mobilie tālruņi ir labā stāvoklī..

A bojāto mobilo tālruņu īpatsvars ir 0,2 un B ir 0,5. Kāda ir varbūtība, ka minētās rūpnīcas mobilais tālrunis ir bojāts? Kāda ir varbūtība, ka, zinot, ka mobilais tālrunis ir bojāts, nāk no mašīnas A?

Risinājums

Šeit jums ir eksperiments, kas tiek veikts divās daļās; pirmajā daļā notiek notikumi:

A: mobilais tālrunis, ko veic mašīna A.

B: mobilais tālrunis, ko veic mašīna B.

Tā kā mašīna A ražo 54% mobilo tālruņu un pārējo ražo B mašīna, mašīna B ražo 46% mobilo tālruņu. Šo notikumu iespējamība ir norādīta, proti:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Eksperimenta otrās daļas notikumi ir:

D: bojāta šūna.

E: nav bojāta šūna.

Kā teikts paziņojumā, šo notikumu iespējamība ir atkarīga no pirmajā daļā iegūtā rezultāta:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Izmantojot šīs vērtības, varat arī noteikt šo notikumu papildinājumu varbūtību, proti:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

un

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Tagad notikums D var tikt rakstīts šādi:

Izmantojot nosacījuma varbūtības reizināšanas teorēmu, rezultāts ir:

Ar kuru tiek atbildēts uz pirmo jautājumu.

Tagad mums ir nepieciešams aprēķināt P (A | D), par kuru attiecas Bayes teorēma:

Pateicoties Bayes teorijai, var teikt, ka varbūtība, ka mobilais tālrunis ir izveidots ar A iekārtu, zinot, ka mobilais tālrunis ir bojāts, ir 0,319.

2. uzdevums

Trīs kastes satur baltas un melnas bumbiņas. Katra no tām sastāv no sekojošiem: U1 = 3B, 1N, U2 = 2B, 2N, U3 = 1B, 3N.

Viena no kastēm ir izvēlēta pēc nejaušības principa, un no tā tiek iegūta nejauša bumba, kas izrādās balta. Kura ir visbiežāk izvēlētā kaste?

Risinājums

Izmantojot U1, U2 un U3, mēs arī pārstāvēsim izvēlēto lodziņu.

Šie notikumi veido S nodalījumu, un tiek pārbaudīts, ka P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, jo kastes izvēle ir nejauša.

Ja B = iegūtā bumba ir balta, mums būs P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 .

Tas, ko mēs vēlamies iegūt, ir varbūtība, ka bumba tika izņemta no kastes Ui, zinot, ka bumba bija balta, tas ir, P (Ui | B), un redzēt, kura no trim vērtībām bija augstākā, lai uzzinātu, kura lodziņš, visticamāk, ir balta bumba.

Bayes teorēmas piemērošana pirmajam lodziņam:

Un pārējiem diviem:

P (U2 | B) = 2/6 un P (U3 | B) = 1/6.

Tad pirmā no kastēm ir tā, kurai ir lielāka varbūtība, ka tā ir izvēlēta baltās bumbas iegūšanai.

Atsauces

  1. Kai Lai Chung Elementārā ticamības teorija ar stohastiskiem procesiem. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Rosen Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Varbūtība un statistikas lietojumi. S.A. MEKSIKAS ALHAMBRA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000. gada diskrētās matemātikas problēmas. McGRAW-HILL.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Varbūtības teorija un problēmas. McGRAW-HILL.