Kas ir relatīvie brālēni? Raksturlielumi un piemēri

To sauc radinieki (koprimos vai brālēni attiecībā pret otru) uz jebkuru veselu skaitļu pāri, kam nav kopīga dalītāja, izņemot 1.

Citiem vārdiem sakot, divi veseli skaitļi ir relatīvie brālēni, ja to dekompozīcijās primārajos skaitļos viņiem nav kopīga faktora.

Piemēram, ja ir izvēlēti 4 un 25, katra galvenā primārā koeficienta sadalījums ir attiecīgi 2² un 5². Kā tas ir novērtēts, tiem nav kopīga faktora, tāpēc 4 un 25 ir relatīvi brālēni.

No otras puses, ja tiek izvēlēti 6 un 24, veicot dekompozīcijas primārajos faktoros, iegūstam, ka 6 = 2 * 3 un 24 = 2³ * 3.

Kā redzat, šīm pēdējām divām izteiksmēm ir vismaz viens kopīgs faktors, tāpēc tās nav relatīvas primes.

Relatīvie brālēni

Viena lieta, kurai jābūt uzmanīgai, ir tas, ka sakot, ka veselu skaitļu pāris ir relatīvi primes, ir tas, ka tas nenozīmē, ka kāds no tiem ir galvenais numurs.

No otras puses, iepriekš minēto definīciju var apkopot šādi: divi veseli skaitļi "a" un "b" ir relatīvi prime, ja un tikai tad, ja to lielākais kopīgais dalītājs ir 1, ti, mcd ( a, b) = 1.

Divi tūlītēji secinājumi šajā definīcijā ir šādi:

-Ja "a" (vai "b") ir galvenais numurs, tad mcd (a, b) = 1.

-Ja "a" un "b" ir primārie skaitļi, tad mcd (a, b) = 1.

Tas ir, ja vismaz viens no izvēlētajiem numuriem ir primārais skaitlis, tad tieši skaitļu pāris ir relatīvās primes.

Citas funkcijas

Citi rezultāti, kas tiek izmantoti, lai noteiktu, vai divi numuri ir relatīvi primāri, ir šādi:

-Ja divi veseli skaitļi ir pēc kārtas, tie ir relatīvi brālēni.

-Divi dabiski skaitļi "a" un "b" ir relatīvi primāri, ja un tikai tad, ja skaitļi "(2 ^ a) -1" un "(2 ^ b) -1" ir relatīvi primes.

-Divi veseli skaitļi "a" un "b" ir relatīvi primāri, ja un tikai tad, ja, uzzīmējot punktu (a, b) Dekarta plaknē un izveidojot līniju, kas iet caur izcelsmi (0,0) un (a) , b) tas nesatur punktus ar veselām koordinātām.

Piemēri

1.- Apsveriet veselos skaitļus 5 un 12. Abu skaitļu galvenie faktori ir attiecīgi: 5 un 2² * 3. Visbeidzot, gcd (5,12) = 1, tāpēc 5 un 12 ir relatīvas primes.

2.- Ļaujiet skaitļiem -4 un 6. Tad -4 = -2² un 6 = 2 * 3, lai LCD (-4.6) = 2 ≠ 1. Nobeigumā -4 un 6 nav relatīvi brālēni.

Ja mēs turpinām grafiku rindai, kas iet caur pasūtītajiem pāriem (-4.6) un (0.0), un noteikt šīs līnijas vienādojumu, mēs varam pārbaudīt, vai tas iet caur punktu (-2.3).

Atkal tiek secināts, ka -4 un 6 nav relatīvi brālēni.

3.- Skaitļi 7 un 44 ir relatīvi prime, un tos var ātri pabeigt, pateicoties iepriekš minētajam, jo ​​7 ir galvenais numurs.

4.- Apsveriet skaitļus 345 un 346. Ir divi secīgi numuri, un tiek pārbaudīts, ka mcd (345,346) = 1, tātad 345 un 346 ir relatīvās primes.

5.- Ja ņem vērā skaitļus 147 un 74, tad tie ir relatīvi brālēni, jo 147 = 3 * 7² un 74 = 2 * 37, tāpēc gcd (147,74) = 1.

6.- Numuri 4 un 9 ir relatīvi primāri. Lai to pierādītu, var izmantot otro iepriekš minēto raksturojumu. Faktiski 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 un 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Iegūtie skaitļi ir 15 un 511. Šo skaitļu galvenais faktors ir 3 * 5 un 7 * 73, tādējādi mcd (15,511) = 1.

Kā redzat, otrā raksturojuma izmantošana ir ilgāks un darbietilpīgāks uzdevums nekā to tieši pārbaudīt.

7.- Apsveriet numurus -22 un -27. Tad šos skaitļus var pārrakstīt šādi: -22 = -2 * 11 un -27 = -3³. Tāpēc gcd (-22, -27) = 1, tātad -22 un -27 ir relatīvi primes.

Atsauces

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., un Soto, A. (1998). Ievads skaitļu teorijā. EUNED.
2. Bourdon, P. L. (1843). Aritmētiskie elementi. Kalleja kungu un bērnu dēlu grāmatnīca.
3. Castañeda, S. (2016). Skaitļu teorijas pamatkurss. Ziemeļu universitāte.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Visu numuru kopums. EUNED.
5. Augstākais skolotāju apmācības institūts (Spānija), J. L. (2004). Numuri, formas un apjomi bērna vidē. Izglītības ministrija.
6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Praktiskā matemātika: aritmētika, algebra, ģeometrija, trigonometrija un slaidu noteikums (atkārtota izdrukāšana). Reverte.
7. Rock, N. M. (2006). Algebra I ir vienkārša! Tik vienkārši. Komandas Rock Press.
8. Smith, S.A. (2000). Algebra. Pearson Education.
9. Szecsei, D. (2006). Pamata matemātika un pre-algebra (ilustrēts red.). Karjera Press.
10. Torāls, C., un Preciado, M. (1985). 2. Matemātikas kurss. Redakcijas Progreso.
11. Wagner, G., Caicedo, A., un Kolorādo, H. (2010). Aritmētikas pamatprincipi. ELIZCOM S.A.S.