Vienlīdzības īpašības



The vienlīdzības īpašības tie attiecas uz attiecībām starp diviem matemātiskiem objektiem - skaitļiem vai mainīgajiem. To apzīmē ar simbolu "=", kas vienmēr iet starp šiem diviem objektiem. Šo izteiksmi izmanto, lai noteiktu, ka divi matemātiskie objekti ir viens un tas pats objekts; cits vārds, ka divi objekti ir vienādi.

Ir gadījumi, kad vienlīdzība ir triviāla. Piemēram, ir skaidrs, ka 2 = 2. Tomēr, kad runa ir par mainīgajiem lielumiem, tas vairs nav triviāls un tam ir īpašs pielietojums. Piemēram, ja jums ir y = x un, no otras puses, x = 7, var secināt, ka arī y = 7.

Iepriekšējais piemērs ir balstīts uz vienu no vienlīdzības īpašībām, kā tuvākajā laikā būs redzams. Šīs īpašības ir būtiskas vienādojumu (mainīgo lielumu vienādojumu) risināšanai, kas veido ļoti svarīgu matemātikas daļu.

Indekss

  • 1 Kādas ir vienlīdzības īpašības?
    • 1.1 Atstarojošs īpašums
    • 1.2. Simetriskais īpašums
    • 1.3. Transitīvais īpašums
    • 1.4 Vienveidīgs īpašums
    • 1.5. Anulēšanas īpašums
    • 1.6. Nomaiņa
    • 1.7. Varas īpašums vienlīdzībā
    • 1.8. Saknes īpašums vienlīdzībā
  • 2 Atsauces

Kādas ir vienlīdzības īpašības?

Atstarojošs īpašums

Atstarojošs īpašums vienlīdzības gadījumā norāda, ka katrs skaitlis ir vienāds ar sevi un tiek izteikts kā b = b jebkuram reālajam skaitlim b..

Konkrētajā vienlīdzības gadījumā šis īpašums šķiet acīmredzams, bet cita veida attiecību starp numuriem tas nav. Citiem vārdiem sakot, ne katra reālo skaitļu saistība atbilst šim īpašumam. Piemēram, šāds “mazāk nekā” attiecību gadījums (<); ningún número es menor que sí mismo.

Simetriskais īpašums

Simetriskā vienlīdzības īpašība norāda, ka, ja a = b, tad b = a. Neatkarīgi no tā, kādu kārtību izmanto mainīgajos lielumos, to saglabās līdztiesības attiecības.

Pievienojot, komutatīvajā īpašumā var novērot zināmu šīs īpašības analoģiju. Piemēram, šī īpašuma dēļ tas ir ekvivalents rakstīt y = 4 vai 4 = y.

Transitīvs īpašums

Transitīvā īpašība vienlīdzībā norāda, ka, ja a = b un b = c, tad a = c. Piemēram, 2 + 7 = 9 un 9 = 6 + 3; tāpēc ar transitīvo īpašumu mums ir 2 + 7 = 6 + 3.

Vienkāršs pieteikums ir šāds: pieņemsim, ka Julian ir 14 gadus vecs un Mario ir tāds pats vecums kā Rosa. Ja Rosa ir tāds pats vecums kā Julianam, cik vecs ir Mario??

Aiz šī scenārija transitīvo īpašumu izmanto divas reizes. Matemātiski tas tiek interpretēts kā šāds: jābūt "a" Mario vecumam, "b" Rosa vecumam un "c" Julian vecumam. Ir zināms, ka b = c un c = 14.

Par transitīvo īpašumu mums ir b = 14; tas ir, Rosa ir 14 gadus vecs. Tā kā a = b un b = 14, tad atkal izmantoja transitīvo īpašumu, mums ir a = 14; tas ir, ka Mario vecums ir arī 14 gadi.

Vienots īpašums

Vienotais īpašums ir tāds, ka, ja abas vienlīdzības puses tiek pievienotas vai reizinātas ar to pašu summu, vienlīdzība tiek saglabāta. Piemēram, ja 2 = 2, tad 2 + 3 = 2 + 3, kas ir skaidrs, tad 5 = 5. Šai īpašībai ir vairāk lietderības, ja runa ir par vienādojuma risināšanu.

Piemēram, pieņemsim, ka jums tiek lūgts atrisināt vienādojumu x-2 = 1. Ir ērti atcerēties, ka vienādojuma atrisināšana ir saistīta ar mainīgā lieluma (vai mainīgo) skaidru noteikšanu, pamatojoties uz noteiktu numuru vai iepriekš noteiktu mainīgo.

Atgriežoties pie vienādojuma x-2 = 1, jādara, lai skaidri noteiktu, cik daudz x ir vērts. Lai to izdarītu, mainīgais ir jāizdzēš.

Ir kļūdaini mācīts, ka šajā gadījumā, kā 2. skaitlis ir negatīvs, tas pāriet uz vienlīdzības otru pusi ar pozitīvu zīmi. Bet tas nav pareizi teikt.

Būtībā tas, kas tiek darīts, ir piemērot vienotu īpašumu, kā redzēsim tālāk. Ideja ir izdzēst "x"; tas ir, atstājiet to tikai vienādojuma vienā pusē. Pēc vienošanās tas parasti paliek pa kreisi.

Šim nolūkam skaitlis, kuru vēlaties "novērst", ir -2. Veids, kā to izdarīt, būtu pievienot 2, jo -2 + 2 = 0 un x + 0 = 0. Lai to izdarītu, nemainot vienlīdzību, tā pati darbība ir jāpiemēro otrā pusē.

Tas ļauj realizēt vienotu īpašumu: kā x-2 = 1, ja skaitlis 2 tiek pievienots abās vienlīdzības pusēs, vienotais īpašums saka, ka tas pats netiek mainīts. Tad mums ir tas, ka x-2 + 2 = 1 + 2, kas ir ekvivalents sakot, ka x = 3. Ar to vienādojums tiks atrisināts.

Tāpat, ja vēlaties atrisināt vienādojumu (1/5) y-1 = 9, varat turpināt izmantot vienoto īpašumu šādi:

Kopumā var izteikt šādus apgalvojumus:

- Ja a-b = c-b, tad a = c.

- Ja x-b = y, tad x = y + b.

- Ja (1 / a) z = b, tad z = a ×

- Ja (1 / c) a = (1 / c) b, tad a = b.

Atcelšanas īpašums

Īpašuma atcelšana ir īpašs vienotas īpašumtiesību gadījums, jo īpaši ņemot vērā atņemšanas un dalīšanas gadījumu (kas galu galā atbilst arī pievienošanai un reizināšanai). Šī īpašība šo lietu apstrādā atsevišķi.

Piemēram, ja 7 + 2 = 9, tad 7 = 9-2. Vai, ja 2y = 6, tad y = 3 (abās pusēs dalot ar diviem).

Līdzīgi kā iepriekšējā gadījumā, izmantojot atcelšanas īpašumu, var konstatēt šādus paziņojumus:

- Ja a + b = c + b, tad a = c.

- Ja x + b = y, tad x = y-b.

- Ja az = b, tad z = b / a.

- Ja ca = cb, tad a = b.

Nomaiņa

Ja mēs zinām matemātiskā objekta vērtību, aizstāšanas īpašība norāda, ka šo vērtību var aizstāt jebkurā vienādojumā vai izteiksmē. Piemēram, ja b = 5 un a = bx, tad otrajā vienādojumā aizstājot "b" vērtību, mums ir tas, ka a = 5x.

Vēl viens piemērs ir šāds: ja "m" sadala "n" un arī "n" dala "m", tad ir jābūt, ka m = n.

Faktiski, teikt, ka "m" sadala "n" (vai līdzvērtīgi, ka "m" ir "n" dalītājs) nozīmē, ka sadalījums m ÷ n ir precīzs; tas ir, dalot "m" ar "n", jums ir vesels skaitlis, nevis decimālskaitlis. To var izteikt, sakot, ka pastāv vesels skaitlis "k", kas nozīmē, ka m = k × n.

Tā kā "n" arī sadala "m", tad pastāv vesels skaitlis "p", kas nozīmē, ka n = p × m. Aizvietošanas īpašumam ir tas, ka n = p × k × n, un, lai tas notiktu, ir divas iespējas: n = 0, tādā gadījumā mums būtu identitāte 0 = 0; vai p × k = 1, kur identitātei jābūt n = n.

Pieņemsim, ka "n" ir nulles. Tad obligāti p × k = 1; tāpēc p = 1 un k = 1. Atkal aizstājot aizvietošanas īpašību, aizstājot k = 1 vienādojumā m = k × n (vai līdzvērtīgi, p = 1 n = p × m), beidzot tiek iegūts, ka m = n, kas bija tas, ko gribēja demonstrēt.

Pilnvaras piederība vienlīdzībai

Kā jau iepriekš tika konstatēts, ka, ja operācija tiek veikta kā summa, reizināšana, atņemšana vai sadalīšana abos vienlīdzības noteikumos, tā tiek saglabāta, tāpat kā citas operācijas, kas nemaina vienlīdzību.

Galvenais ir vienmēr to darīt abās vienlīdzības pusēs, un iepriekš pārliecināties, ka operāciju var veikt. Tāda ir pilnvarošanas iespēja; tas ir, ja abas vienādojuma puses tiek paceltas līdz vienādai varai, joprojām pastāv vienlīdzība.

Piemēram, kā 3 = 3, tad 32= 32 (9 = 9). Kopumā, ņemot vērā veselu skaitli "n", ja x = y, tad xn= yn.

Saknes īpašums vienlīdzībā

Tas ir īpašs pastiprināšanas gadījums un tiek piemērots, ja jauda ir racionāls skaitlis, kas nav vesels skaitlis, piemēram, ½, kas ir kvadrātsakne. Šī īpašība norāda, ka, ja vienāda sakne tiek izmantota abās vienlīdzības pusēs (kur vien iespējams), tiek saglabāta vienlīdzība.

Atšķirībā no iepriekšējās lietas, šeit jums jābūt uzmanīgiem ar tā saknes paritāti, kas tiks izmantota, jo ir labi zināms, ka negatīvā skaitļa vienāds saknes nav precīzi definētas..

Gadījumā, ja radikāls ir vienāds, nav problēmu. Piemēram, ja x3= -8, lai gan tas ir vienlīdzība, jūs nevarat piemērot kvadrātsakni, piemēram, abās pusēs. Tomēr, ja jūs varat piemērot kubisko sakni (kas ir vēl ērtāk, ja vēlaties skaidri zināt x vērtību), iegūstot, ka x = -2.

Atsauces

  1. Aylwin, C. U. (2011). Loģika, komplekti un numuri. Mérida - Venecuēla: Publikāciju padome, Universidad de Los Andes.
  2. Jiménez, J., Rofríguez, M., un Estrada, R. (2005). Matemātika 1 SEP. Slieksnis.
  3. Lira, M. L. (1994). Simons un matemātika: matemātikas teksts otrajam pamatgadam: studenta grāmata. Andres Bello.
  4. Preciado, C. T. (2005). Matemātikas kurss 3o. Redakcijas Progreso.
  5. Segovija, B. R. (2012). Matemātiskās aktivitātes un spēles ar Miguelu un Luciju. Baldomero Rubio Segovia.
  6. Torāls, C., un Preciado, M. (1985). 2. Matemātikas kurss. Redakcijas Progreso.