Produkta savstarpējās īpašības, lietojumprogrammas un atrisinātās vingrinājumi

The Šķērsot produktu vai produkta vektoru Tas ir veids, kā reizināt divus vai vairākus vektorus. Ir trīs veidi, kā vairoties vektorus, bet neviens no tiem nav reizinājums vārda parastajā nozīmē. Viena no šīm formām ir pazīstama kā vektora produkts, kas rada trešo vektoru.

Vektora produktam, ko sauc arī par šķērsproduktu vai ārējo produktu, ir dažādas algebriskās un ģeometriskās īpašības. Šīs īpašības ir ļoti noderīgas, jo īpaši fizikas pētījumā.

Indekss

• 1 Definīcija
• 2 Rekvizīti
  • 2.1 Īpašums 1
  • 2.2 Īpašums 2
  • 2.3 Īpašums 3
  • 2.4 Īpašums 4 (trīskāršais skalārs)
  • 2.5 Īpašums 5 (trīskāršais vektora produkts)
  • 2.6 Īpašums 6
  • 2.7 Īpašums 7
  • 2.8 Īpašums 8
• 3 Pieteikumi
  • 3.1 Paralēlskaldņa tilpuma aprēķins
• 4 Risinājumi atrisināti
  • 4.1 1. uzdevums
  • 4.2. 2. uzdevums
• 5 Atsauces

Definīcija

Formāla vektora produkta definīcija ir šāda: ja A = (a1, a2, a3) un B = (b1, b2, b3) ir vektori, tad A un B vektora produkts, ko mēs apzīmēsim kā AxB, ir:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Sakarā ar apzīmējumu AxB, tas ir izteikts kā "A krustojums B".

Piemērs, kā izmantot ārējo produktu, ir tas, ka, ja A = (1, 2, 3) un B = (3, -2, 4) ir vektori, tad, izmantojot vektora produkta definīciju, mums ir:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Vēl viens veids, kā izteikt vektora produktu, ir norādīts noteicošo faktoru apzīmējumā.

Otrās kārtas noteicēja aprēķinu sniedz:

Tāpēc definīcijā sniegto vektora produkta formulu var pārrakstīt šādi:

To parasti vienkāršo trešā secībā noteicējs:

Kur i, j, k ir vektori, kas veido R pamatā³.

Izmantojot šo veidu, kā izteikt šķērsproduktu, mums ir tas, ka iepriekšējais piemērs var tikt pārrakstīts kā:

Rekvizīti

Dažas īpašības, kas piemīt vektora produktam, ir šādas:

Īpašums 1

Ja A ir jebkurš vektors R³, Mums ir:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Šīs īpašības ir viegli pārbaudīt, izmantojot tikai definīciju. Ja A = (a1, a2, a3), mums ir:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ja i, j, k ir R vienības pamats³, Tos var rakstīt šādi:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Tad mums jāatbilst šādām īpašībām:

Atceroties šos rekvizītus, parasti izmanto šādu apli:

Tur ir jāatzīmē, ka jebkurš vektors ar savu rezultātu izraisa vektoru 0, un pārējos produktus var iegūt ar šādu noteikumu:

Divu secīgu vektoru šķērsprodukts pulksteņrādītāja virzienā dod šādu vektoru; un, ņemot vērā pretēji pulksteņrādītāja virzienam, rezultāts ir šāds vektors ar negatīvu zīmi.

Pateicoties šīm īpašībām, var redzēt, ka vektora produkts nav komutatīvs; piemēram, pietiek pamanīt, ka i x j ≠ j x i. Nākamais īpašums norāda, kā AxB un BxA kopumā attiecas.

Īpašums 2

Ja A un B ir R vektori³, Mums ir:

AxB = - (BxA).

Demonstrācija

Ja A = (a1, a2, a3) un B = (b1, b2, b3), pēc ārējā produkta definīcijas mums ir:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Mēs varam arī novērot, ka šis produkts nav saistīts ar šādu piemēru:

ix (ixj) = ixk = - j, bet (ixi) xj = 0xj = 0

No tā varam novērot, ka:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Īpašums 3

Ja A, B, C ir R vektori³ un r ir reāls skaitlis, ir taisnība:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = ass (rB)

Pateicoties šīm īpašībām, varam aprēķināt vektora produktu, izmantojot algebras likumus, ja rīkojums tiek ievērots. Piemēram:

Ja A = (1, 2, 3) un B = (3, -2, 4), mēs varam tos pārrakstīt, pamatojoties uz R kanonisko pamatu³.

Tādējādi A = i + 2j + 3k un B = 3i - 2j + 4k. Pēc tam, piemērojot iepriekšējās īpašības:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Īpašums 4 (trīskāršais skalārs)

Kā mēs jau minējām sākumā, ir citi veidi, kā vairot vektorus bez vektora produkta. Viens no šiem veidiem ir skalārs produkts vai iekšējais produkts, kas apzīmēts kā A ∙ B un kura definīcija ir:

Ja A = (a1, a2, a3) un B = (b1, b2, b3), tad A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Īpašums, kas attiecas uz abiem produktiem, ir pazīstams kā trīskāršais skalārs.

Ja A, B un C ir R vektori³, tad A ∙ BxC = AxB ∙ C

Piemēram, redzēsim, ka, ņemot vērā A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) un C = (- 5, 1, - 4), šis īpašums ir izpildīts.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

No otras puses:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Vēl viens trīskāršais produkts ir Ax (BxC), kas ir pazīstams kā trīskāršais vektora produkts.

Īpašums 5 (trīskāršais vektora produkts)

Ja A, B un C ir R vektori³,  tad:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Piemēram, redzēsim, ka, ņemot vērā A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) un C = (- 5, 1, - 4), šis īpašums ir izpildīts.

No iepriekšējā parauga mēs zinām, ka BxC = (- 18, - 22, 17). Aprēķināsim Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

No otras puses, mums ir:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Tātad, mums ir:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Īpašums 6

Tā ir viena no vektoru ģeometriskajām īpašībām. Ja A un B ir divi vektori R³ un Θ ir leņķis, kas veidojas starp tiem, tad:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), kur || ∙ || apzīmē vektora moduli vai lielumu.

Šī īpašuma ģeometriskā interpretācija ir šāda:

Ļaujiet A = PR un B = PQ. Tad leņķis, ko veido vektori A un B, ir trijstūra RQP leņķis P, kā parādīts nākamajā attēlā.

Tāpēc paralelogrammas laukums ar blakus esošajām pusēm PR un PQ ir || A |||| B || sin (Θ), jo mēs varam izmantot kā pamatu || A || un tā augstumu norāda || B || sin (Θ).

Tāpēc mēs varam secināt, ka || AxB || ir minētās paralelogrammas apgabals.

Piemērs

Ņemot vērā šādus četrstūra P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) un S (5,7, -3) virsotnes, rāda, ka minētais četrstūris ir paralelogramma un atrodiet tās laukumu.

Lai to izdarītu, vispirms nosaka vektorus, kas nosaka četrstūra malas virzienu. Tas ir:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kā mēs varam novērot, A un C ir viens un tas pats vektoru režisors, par kuru mums ir paralēli; tādā pašā veidā tas notiek ar B un D. Tāpēc secinām, ka PQRS ir paralelogramma.

Lai iegūtu paralēles diagrammas laukumu, mēs aprēķinām BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Tāpēc kvadrāta laukums būs:

|| BxA ||² = (- 6)² + (- 2)² + (- 7)² = 36 + 4 + 49 = 89.

Var secināt, ka paralelogrammas platība būs 89 kvadrātveida sakne.

Īpašums 7

Divi vektori A un B ir paralēli R³ jā un tikai tad, ja AxB = 0

Demonstrācija

Ir skaidrs, ka, ja A vai B ir nulles vektors, tad izriet, ka AxB = 0. Tā kā nulles vektors ir paralēls jebkuram citam vektoram, tad īpašums ir derīgs.

Ja neviens no diviem vektoriem nav nulles vektors, mums ir, ka to lielumi atšķiras no nulles; tas ir, abi || A || ≠ 0 kā || B || ≠ 0, tāpēc mums būs || = 0, ja un tikai tad, ja sin (Θ) = 0, un tas notiek, ja un tikai tad, ja Θ = π vai Θ = 0.

Tāpēc, ja un tikai tad, ja Θ = π vai Θ = 0, mēs varam noslēgt AxB = 0, kas notiek tikai tad, ja abi vektori ir paralēli vienam otram.

Īpašums 8

Ja A un B ir divi vektori R³, tad AxB ir perpendikulārs gan A, gan B.

Demonstrācija

Šajā demonstrācijā atcerieties, ka divi vektori ir perpendikulāri, ja A ∙ B ir vienāds ar nulli. Turklāt mēs zinām, ka:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, bet AxA ir vienāds ar 0. Tāpēc mums ir:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Ar to mēs varam secināt, ka A un AxB ir perpendikulāri viens otram. Līdzīgā veidā mums ir:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Kā BxB = 0, mums ir:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Tāpēc AxB un B ir perpendikulāri viens otram un ar to tiek pierādīts īpašums. Tas ir ļoti noderīgi, jo tie ļauj noteikt plaknes vienādojumu.

1. piemērs

Iegūstiet plaknes vienādojumu, kas iet caur punktiem P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) un R (2, 1, 3).

Ļaujiet A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) un B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Tad A = - i + 3j + k un B = i - 2j + k. Lai atrastu plakni, ko veido šie trīs punkti, ir pietiekami atrast vektoru, kas ir normāls plaknei, kas ir AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Izmantojot šo vektoru un ņemot P punktu (1, 3, 2), varam noteikt plaknes vienādojumu šādi:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Tātad, mums ir tas, ka plaknes vienādojums ir 5x + 2y - z - 9 = 0.

2. piemērs

Atrodiet plaknes vienādojumu, kas satur punktu P (4, 0, - 2) un ir perpendikulāri katrai plaknei x - y + z = 0 un 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Zinot, ka normāls vektors līdz plaknei ax + ar + cz + d = 0 ir (a, b, c), mums ir, ka (1, -1,1) ir normāls x - y + z = 0 y vektors ( 2.1, - 4) ir normāls 2x + y - 4z - 5 = 0 vektors.

Tāpēc normālajam vektoram uz vēlamo plakni jābūt perpendikulārai (1, -1,1) un a (2, 1, - 4). Minētais vektors ir:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Tad mums ir tas, ka pieprasītā plakne ir tā, kas satur punktu P (4,0, - 2) un kura vektors (3,6,3) ir normāls vektors.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Programmas

Paralēlskaldņa tilpuma aprēķins

Lietojumprogrammai, kurai ir trīskāršais skalārs produkts, jāspēj aprēķināt paralēlskaldņa tilpumu, kura malas ir norādītas vektoros A, B un C, kā parādīts attēlā:

Mēs varam secināt, ka šis pieteikums ir šāds: kā jau iepriekš teicām, vektora AxB ir vektora, kas ir normāls A un B plaknei. Mums ir arī tas, ka vektors - (AxB) ir vēl viens vektors, kas ir normāls minētajai plaknei.

Mēs izvēlamies normālu vektoru, kas veido mazāko leņķi ar vektoru C; nezaudējot vispārīgumu, ļaut AxB būt vektors, kura leņķis ar C ir mazākais.

Mums ir tas, ka gan AxB, gan C ir vienāds sākumpunkts. Turklāt mēs zinām, ka paralelogrammas platība, kas veido paralēlskaldņa pamatni, ir || AxB ||. Tāpēc, ja paralēlskaldņa augstumu nosaka h, mums ir, ka tā tilpums būs:

V = || AxB || h.

No otras puses, apsveriet skalāra produktu starp AxB un C, ko var raksturot šādi:

Tomēr ar trigonometriskām īpašībām mums ir tas, ka h = || C || cos (Θ), tāpēc mums ir:

Šādā veidā mums ir:

Kopumā mēs esam pārliecinājušies, ka paralēlskaldņu tilpums tiek noteikts pēc tripleālā produkta AxB ∙ C absolūtās vērtības..

Atrisinātās mācības

1. uzdevums

Ņemot vērā punktus P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) un S = (2, 6, 9), šie punkti veido paralēlskaldni, kura malas tie ir PQ, PR un PS. Noteikt minētā paralēlskaldņa tilpumu.

Risinājums

Ja ņemam:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Izmantojot trīskāršā skalāra produkta īpašumu, mums ir:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Tāpēc mums ir, ka minētā paralēlskaldņa tilpums ir 52.

2. uzdevums

Nosakiet paralēlskaldņu tilpumu, kura malas ir A = PQ, B = PR un C = PS, kur punkti P, Q, R un S ir (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) un (2, 2, 5).

Risinājums

Vispirms mums ir tas, ka A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Mēs aprēķinām AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Tad mēs aprēķinām AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Tādējādi secinām, ka minētā paralēlskaldņa tilpums ir 1 kubikmetrs.

Atsauces

1. Leithold, L. (1992). APRĒĶINĀŠANA ar analītisko ģeometriju. HARLA, S.A.
2. Resnick, R., Halliday, D., un Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Meksika: Continental.
3. Saenz, J. (s.f.). Vektoru aprēķins ir 1. Hypotenuse.
4. Spiegel, M. R. (2011). Vektoru analīze 2ed. Mc Graw kalns.
5. Zill, D. G., & Wright, W. (2011). Dažādu mainīgo aprēķins 4ed. Mc Graw kalns.