Paralēlskaldnes īpašības, veidi, platība, tilpums

A paralēlskaldnis ir ģeometrisks ķermenis, ko veido sešas sejas, kuru galvenā īpašība ir tā, ka visas viņu sejas ir paralelogrammas, un arī to pretējās sejas ir paralēlas viena ar otru. Mūsu ikdienas dzīvē tas ir izplatīts daudzstūris, jo mēs to varam atrast apavu kastēs, ķieģeļu formā, mikroviļņu formā utt..

Tā kā paralēlskaldnis ir daudzskaldnis, tam ir ierobežots tilpums, un visas tās sejas ir plakanas. Tā ir daļa no prizmu grupas, kas ir tās polihedras, kurās visas to virsotnes atrodas divās paralēlās plaknēs..

Indekss

• 1 Paralēlskaldņa elementi
  • 1.1. Sejas
  • 1.2
  • 1.3. Virsotne
  • 1.4 Diagonal
  • 1.5 Centrs
• 2 Paralēlskaldņu raksturojums
• 3 veidi
  • 3.1 Diagonālu aprēķināšana
• 4 Platība
  • 4.1. Ortohedrona teritorija
  • 4.2 Kubas laukums
  • 4.3. Rombohedrona apgabals
  • 4.4. Rombiskā zona
• 5 Paralēlskaldņa tilpums
  • 5.1 Perfect paralēlskaldnis
• 6 Bibliogrāfija

Paralēlskaldņa elementi

Sejas

Tie ir visi reģioni, ko veido paralelogrammas, kas ierobežo paralēlskaldni. Paralēlskaldnē ir sešas sejas, kur katrai sejai ir četras blakus esošās sejas un viena pretējā. Turklāt katra puse ir paralēla ar tās pretējo.

Malu malas

Tās ir divu seju kopēja puse. Kopumā paralēlskaldnē ir divpadsmit malas.

Vertex

Tas ir kopīgs trīs seju, kas atrodas blakus viena otrai ar diviem vai diviem. Paralēlskaldnē ir astoņas virsotnes.

Diagonal

Ņemot vērā paralēlskaldņa divas pretējās puses, mēs varam zīmēt līnijas segmentu, kas iet no vienas virsmas virsotnes līdz otras puses pretējai virsotnei.

Šis segments ir pazīstams kā paralēlskaldņa diagonāls. Katrā paralēlskaldnē ir četri diagonāli.

Downtown

Tas ir punkts, kurā visi diagonāli krustojas.

Paralēlskaldņa raksturojums

Kā jau minējām, šim ģeometriskajam ķermenim ir divpadsmit malas, sešas sešas un astoņas virsotnes.

Paralēlskaldnē var identificēt trīs komplektus, ko veido četras malas, kas ir paralēlas viena ar otru. Turklāt šo kopu malas pilda arī tāda paša garuma īpašumu.

Vēl viena īpašība, kas ir paralēlskaldņiem, ir tā, ka tie ir izliekti, tas ir, ja mēs uzņemamies jebkurus punktus, kas pieder paralēlskaldņa iekšpusei, tad segmentu, ko nosaka šis punktu pāris, būs arī paralēlskaldņa iekšpusē..

Turklāt paralēles, kas ir izliektas polihedras, atbilst Eulera teorijai par polihedru, kas dod mums attiecību starp seju skaitu, malu skaitu un virsotņu skaitu. Šī saikne tiek sniegta šāda vienādojuma veidā:

C + V = A + 2

Šī funkcija ir pazīstama kā Eulera īpašība.

Kur C ir seju skaits, V virsotņu skaits un A malu skaits.

Veidi

Mēs varam klasificēt paralēlskaldņus, pamatojoties uz viņu sejām, šādos veidos:

Ortopēdija

Tie ir paralēlskaldņi, kur viņu sejas veido seši taisnstūri. Katrs taisnstūris ir perpendikulārs ar tiem, kuriem tas ir kopīgs. Tie ir visizplatītākie mūsu ikdienas dzīvē, kā tas ir parastais apavu kastu un ķieģeļu veids.

Kubs vai regulārs heksahedrons

Tas ir īpašs gadījums iepriekšējā gadījumā, kur katra seja ir kvadrāts.

Kubs ir arī daļa no ģeometriskajām struktūrām, ko sauc par platoniskām cietvielām. Platoniska cieta viela ir izliekta polihedrona, lai gan tās sejas, gan iekšējie leņķi būtu vienādi..

Romboedro

Tas ir paralēlskaldnis ar dimantiem uz sejas. Šie dimanti ir vienādi viens ar otru, jo tie dalās malās.

Romboiedro

Tās sešas sejas ir romboīdi. Atgādināt, ka rombs ir daudzstūris ar četrām pusēm un četriem leņķiem, kas ir vienādi divi līdz divi. Romboīdi ir paralelogrammas, kas nav ne kvadrāts, ne taisnstūris, ne rombuss.

No otras puses, slīpās paralēlskaldnes ir tās, kurās vismaz viens augstums nepiekrīt tās malai. Šajā klasifikācijā mēs varam ietvert rombohedronus un rombicedronus.

Diagonālais aprēķins

Lai aprēķinātu ortogedrona diagonāli, mēs varam izmantot Pitagora teoriju R³.

Atgādināt, ka ortofonam ir raksturīga iezīme, ka katra puse ir perpendikulāra malām, kas kopīgas ar malām. No šī fakta mēs varam secināt, ka katrs mala ir perpendikulāra tiem, kas dalās virsotnē.

Lai aprēķinātu ortofedona diagonāles garumu, mēs rīkojamies šādi:

1. Mēs aprēķinām diagonāli vienu no sejām, ko mēs izveidosim kā pamatu. Tam mēs izmantojam Pitagora teorēmu. Nosaukiet šo diagonāli d_b.

2. Tad ar d_b mēs varam izveidot jaunu labo trijstūri, lai minētā trīsstūra hipotenūze būtu diagonāls D, kuru meklē.

3. Mēs atkal izmantojam Pitagora teorēmu, un mums ir, ka minētā diagonāla garums ir:

Vēl viens veids, kā aprēķināt diagonālus vairāk grafiskā veidā, ir brīvo vektoru summa.

Atgādināt, ka divi brīvi vektori A un B tiek pievienoti, ievietojot B vektora asti ar vektora galu.

Vektors (A + B) ir tas, kas sākas no A astes un beidzas B galā.

Apsveriet paralēlskaldni, uz kuru mēs vēlamies aprēķināt diagonāli.

Mēs identificējam malas ar ērti orientētiem vektoriem.

Tad mēs pievienojam šos vektorus un iegūtais vektors būs paralēlskaldņa diagonāls.

Platība

Paralēlskaldņa laukumu nosaka katra to sejas platība.

Ja mēs nosakām vienu no pusēm kā pamatu,

A_L + 2A_B = Kopējā platība

Kur A_L ir vienāds ar visu sāniem blakus esošo sānu laukumu summu, ko sauc par sānu laukumu un A_B ir pamatplatība.

Atkarībā no paralēlskaldņu veida, ar kuru mēs strādājam, mēs varam pārrakstīt šo formulu.

Ortohedrona apgabals

To dod formula

A = 2 (ab + bc + ca).

1. piemērs

Ņemot vērā sekojošu ortofonu, ar sāniem a = 6 cm, b = 8 cm un c = 10 cm, aprēķiniet paralēlskaldņa laukumu un tā diagonāles garumu.

Izmantojot ortofedijas apgabala formulu, mums ir jābūt

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Ņemiet vērā, ka, tā kā tas ir ortoedrons, jebkura tās četru diagonāļu garums ir vienāds.

Izmantojot Pythagorean teorēmu, mums ir nepieciešams

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Kuba laukums

Tā kā katram malam ir vienāds garums, mums ir a = b un a = c. Aizstāšana iepriekšējā formulā ir

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

2. piemērs

Spēļu konsoles lodziņā ir kubs. Ja mēs vēlamies ietvert šo lodziņu ar dāvanu papīru, cik daudz papīra mēs tērējam, zinot, ka kuba malas garums ir 45 cm.?

Izmantojot kubu laukuma formulu, mēs to iegūstam

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm)²= 12150 cm²

Rombohedrona apgabals

Tā kā visas viņu sejas ir vienādas, pietiek ar vienu no tām aprēķināt platību un reizināt to ar sešiem.

Mēs varam aprēķināt dimanta laukumu, izmantojot diagonālus ar šādu formulu

A_R = (Dd) / 2

Izmantojot šo formulu, izriet, ka rombohedrona kopējā platība ir

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

3. piemērs

Šādas rombohedrona sejas veido rombs, kura diagonāli ir D = 7 cm un d = 4 cm. Jūsu apgabals būs

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Rombiskā zona

Lai aprēķinātu rombisko laukumu, mums ir jāaprēķina to romboīdu laukums, kas to veido. Tā kā paralēlskaldņi atbilst īpašumam, ka pretējām pusēm ir viena un tā pati zona, mēs varam saistīt malas trīs pāriem.

Tādā veidā mums būs jūsu teritorija

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

Kur b_i ir pamatnes, kas saistītas ar sāniem un_i tā relatīvais augstums, kas atbilst minētajām bāzēm.

4. piemērs

Apsveriet šādu paralēlskaldni,

kur sānam A un malai A '(tās pretējai pusei) ir b = 10 un augstumam h = 6.

A₁ = 2 (10) (6) = 120

Tad B un B 'ir b = 4 un h = 6

A₂ = 2 (4) (6) = 48

Un C un C 'ir b = 10 un h = 5

A₃ = 2 (10) (5) = 100

Visbeidzot, rombohedrona teritorija ir

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Paralēlskaldņa tilpums

Formula, kas dod mums paralēlskaldņa tilpumu, ir viena no tās virsmas laukuma rezultāts ar augstumu, kas atbilst minētajai sejai.

V = A_Ch_C

Atkarībā no paralēlskaldņa veida šo formulu var vienkāršot.

Tātad mums ir, piemēram, orthedrona apjoms

V = abc.

Kur a, b un c attēlo ortohrona malu garumu.

Un konkrētajā gadījumā kubs ir

V = a³

1. piemērs

Sīkdatņu kastēm ir trīs dažādi modeļi, un vēlaties uzzināt, kurā no šiem modeļiem var glabāt vairāk sīkfailu, proti, kura no šīm kastēm ir lielākais.

Pirmais ir kubs, kura mala ir a = 10 cm

Tā tilpums būs V = 1000 cm³

Otrā ir malas b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Tāpēc tā tilpums ir V = 765 cm³

Un trešais ir e = 9 cm, f = 9 cm un g = 13 cm

Un tā tilpums ir V = 1053 cm³

Tāpēc kaste ar lielāko apjomu ir trešais.

Vēl viena metode, lai iegūtu paralēlskaldņu tilpumu, ir izmantot vektora algebru. Jo īpaši trīskāršais skalārs.

Viena no ģeometriskajām interpretācijām, kurās ir trīskāršais skalārs, ir paralēlskaldņa tilpums, kura malas ir trīs vektori, kuriem ir viens un tas pats virsotne kā sākuma punktam..

Tādā veidā, ja mums ir paralēlskaldnis un mēs vēlamies uzzināt, kāds ir tā apjoms, tas ir pietiekami, lai to attēlotu koordinātu sistēmā R³ saskaņojot vienu no tās virsotnēm ar izcelsmi.

Pēc tam mēs attēlojam malas, kas ir kopīgas ar vektoriem, kā parādīts attēlā.

Tādā veidā mēs esam norādījuši, ka minētā paralēlskaldņa tilpums ir noteikts ar

V = | AxB ∙ C |

Vai arī tilpums ir 3 × 3 matricas noteicējs, ko veido malu vektoru komponenti.

2. piemērs

Pārstāvot nākamo paralēlskaldni R³ mēs varam redzēt, ka vektori, kas to nosaka, ir šādi

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) un w = (-0,25, -4, 4)

Izmantojot trīskāršo skalāru, mums ir

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

No tā mēs secinām, ka V = 60

Tagad aplūkojiet šādu paralēlskaldni R3, kuru malas nosaka vektori

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) un C = (3, 4, 4)

Determinantu izmantošana mums dod to

Tāpēc mums ir, ka minētā paralēlskaldņa tilpums ir 112.

Abi ir līdzvērtīgi apjoma aprēķināšanas veidi.

Ideāls paralēlskaldnis

Tas ir pazīstams kā Eulera ķieģelis (vai Eulera bloks) ortofonam, kas atbilst īpašumam, ka gan tā malas garums, gan katra tās sejas diagonāles garums ir veseli skaitļi.

Lai gan Eulers nebija pirmais zinātnieks, kas pētīja ortofonus, kas atbilst šim īpašumam, viņš atrada interesantus rezultātus par viņiem.

Mazāku Eulera ķieģeli atklāja Pauls Halčke, un tā malas ir a = 44, b = 117 un c = 240.

Atklāta problēma skaitļu teorijā ir šāda

Vai ir ideāli ortopēdi?

Pašlaik uz šo jautājumu nevarēja atbildēt, jo nav bijis iespējams pierādīt, ka šīs struktūras nepastāv, bet neviena no tām nav konstatēta..

Līdz šim ir pierādīts, ka pastāv perfektas paralēlskaldnes. Pirmajam atklājamajam ir malas garums 103, 106 un 271.

Bibliogrāfija

1. Guy, R. (1981). Neatrisinātas skaitļu teorijas problēmas. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Ģeometrija. Progress.
3. Leithold, L. (1992). APRĒĶINĀŠANA ar analītisko ģeometriju. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Tehniskais rasējums: 3. darbgrāmata 2. bakalaura grāds . Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., un Krane, K. (2001). Physics Vol. 1. Meksika: Continental.