Minimālā kvadrāta metode, atrisinātās vingrinājumi un tas, ko tas sniedz



Metode vismazāk kvadrātu ir viens no svarīgākajiem lietojumiem funkciju tuvināšanā. Ideja ir atrast tādu līkni, ka, ņemot vērā pasūtīto pāru kopumu, šī funkcija labāk tuvina datus. Funkcija var būt līnija, kvadrātiskā līkne, kubiskā līkne utt..

Metodes ideja ir samazināt koordinātu kvadrātu summu (Y komponents), starp izvēlēto funkciju radītajiem punktiem un datu kopai piederošajiem punktiem..

Indekss

  • 1 mazāko kvadrātu metode
  • 2 Risinājumi atrisināti
    • 2.1. 1. uzdevums
    • 2.2. 2. uzdevums
  • 3 Kas tas ir??
  • 4 Atsauces

Vismazāko kvadrātu metode

Pirms metodes piešķiršanas mums vispirms ir jābūt skaidrai par to, ko nozīmē "labāka pieeja". Pieņemsim, ka mēs meklējam līniju y = b + mx, kas vislabāk atbilst n punktu kopumam, proti, (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Kā parādīts iepriekšējā attēlā, ja mainīgie x un y bija saistīti ar līniju y = b + mx, tad x = x1 atbilstošā y vērtība būtu b + mx1. Tomēr šī vērtība atšķiras no y patiesās vērtības, kas ir y = y1.

Atgādiniet, ka plaknē attālums starp diviem punktiem ir šāds:

Paturot to prātā, lai noteiktu, kā izvēlēties līniju y = b + mx, kas vislabāk atbilst norādītajiem datiem, ir lietderīgi izmantot līnijas izvēli, kas samazina attālumu starp punktiem kvadrātu summu kā kritērijus un taisni.

Tā kā attālums starp punktiem (x1, y1) un (x1, b + mx1) ir y1- (b + mx1), mūsu problēma tiek samazināta līdz skaitļu m un b meklēšanai, lai šāda summa būtu minimāla:

Līnija, kas atbilst šim nosacījumam, ir pazīstama kā "mazāko kvadrātu līnijas tuvināšana punktiem (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Kad problēma ir atrisināta, mums vienkārši jāizvēlas metode, lai atrastu vismazāko kvadrātu tuvinājumu. Ja punkti (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) visi ir rindā y = mx + b, mums būtu jābūt kolināriem un:

Šajā izteiksmē:

Visbeidzot, ja punkti nav kolināri, tad y-Au = 0 un problēmu var pārvērst vektora meklēšanā vai tādā veidā, ka Eiklīda norma ir minimāla.

Meklējot minimizējošo vektoru, nav tik grūti, kā jūs domājat. Tā kā A ir matrica nx2 un u ir 2 × 1 matrica, mums ir tas, ka vektora Au ir vektors Rn un tas pieder pie A attēla, kas ir R apakšspējan ar izmēru, kas nav lielāks par diviem.

Pieņemsim, ka n = 3, lai parādītu, kāda ir procedūra, kas jāievēro. Ja n = 3, A attēls būs plakne vai līnija, kas iet caur izcelsmi.

Ļaujiet v būt minimizējošam vektoram. Attēlā mēs novērojam, ka y-Au tiek samazināts līdz minimumam, kad tas ir ortogonāls A attēlam. Tas ir, ja v ir minimizējošais vektors, tad notiek, ka:

Tad mēs varam izteikt iepriekš minēto:

Tas var notikt tikai tad, ja:

Visbeidzot, jānoņem v, mums ir:

To var izdarīt kopš AtA ir invertējams, kamēr n punkti, kas doti kā dati, nav vienādi.

Tagad, ja tā vietā, lai meklētu līniju, mēs vēlamies atrast parabolu (kura izteiksme būtu formā y = a + bx + cx2) tas bija labāks tuvinājums n datu punktiem, procedūra būtu tā, kā aprakstīts turpmāk.

Ja n datu punkti bija minētajā parabolā, tam būtu:

Tad:

Līdzīgā veidā mēs varam rakstīt y = Au. Ja visi punkti nav parabolā, mums ir tas, ka y-Au atšķiras no nulles jebkuram vektoram u un mūsu problēma ir atkal: atrodiet vektoru u R3, lai tā norma || y-Au || jābūt pēc iespējas mazākam.

Atkārtojot iepriekšējo procedūru, mēs varam ierasties vektorā, kas tiek meklēts:

Atrisinātās mācības

1. uzdevums

Atrodiet rindu, kas vislabāk atbilst punktiem (1,4), (-2,5), (3, -1) un (4,1).

Risinājums

Mums ir:

Tad:

Tāpēc secinām, ka līnija, kas vislabāk atbilst punktiem, tiek sniegta:

2. uzdevums

Pieņemsim, ka objekts tiek noņemts no 200 m augstuma. Samazinoties, tiek veikti šādi pasākumi:

Mēs zinām, ka minētā objekta augstums pēc laika t beigām ir:

Ja mēs vēlamies iegūt g vērtību, mēs varam atrast parabolu, kas ir labāks tuvinājums pieciem tabulā norādītajiem punktiem, un tādējādi mums būtu koeficients, kas pievienots2 ja mērījumi ir precīzi, tas būs saprātīgs tuvinājums (-1/2) g.

Mums ir:

Un tad:

Tātad datu punkti tiek koriģēti ar šādu kvadrātisko izteiksmi:

Tad jums ir:

Šī vērtība ir saprātīgi tuvu pareizajai vērtībai, kas ir g = 9,81 m / s2. Lai g precīzāku tuvināšanu g būtu nepieciešams sākt no precīzākiem novērojumiem.

Kas tas ir??

Problēmas, kas rodas dabaszinātnēs vai sociālajās zinātnēs, ir ērti rakstīt attiecības, kas rodas starp dažādiem mainīgajiem, izmantojot kādu matemātisku izteiksmi.

Piemēram, mēs varam saistīt izmaksas (C), ienākumus (I) un peļņu (U) ekonomikā, izmantojot vienkāršu formulu:

Fizikā mēs varam saistīt gravitācijas izraisīto paātrinājumu, laiku, kad objekts krita, un objekta augstumu likumā:

Iepriekšējā izteiksmē so ir šī objekta sākotnējais augstums un vo ir jūsu sākotnējais ātrums.

Tomēr tādu formulu atrašana nav vienkāršs uzdevums; parasti profesionālim ir pienākums strādāt ar daudziem datiem un atkārtoti veikt vairākus eksperimentus (lai pārliecinātos, ka iegūtie rezultāti ir nemainīgi), lai atrastu attiecības starp dažādiem datiem..

Parastais veids, kā to panākt, ir attēlot plaknē iegūtos datus kā punktus un meklēt nepārtrauktu funkciju, kas optimāli risina šos punktus.

Viens no veidiem, kā atrast funkciju, kas "vislabāk tuvina" sniegtos datus, ir ar vismazāko kvadrātu metodi.

Turklāt, kā redzējām arī vingrinājumā, pateicoties šai metodei, mēs varam iegūt aptuveni tuvu fiziskās konstantes.

Atsauces

  1. Charles W Curtis lineārā algebra. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Elementārā ticamības teorija ar stohastiskiem procesiem. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Skaitliskā analīze (7 gadi). Thompson mācīšanās.
  4. Stanley I. Grossman. Linear Algebra pielietojumi. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Lineārā algebra MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO