Diskrētā matemātika, ko viņi apkalpo, kopu teorija



The diskrēta matemātika atbilst matemātikas jomai, kas ir atbildīga par dabisko numuru kopuma izpēti; tas ir, galīgo un bezgalīgo skaitāmo skaitļu kopums, kur elementus var skaitīt atsevišķi, pa vienam.

Šie komplekti ir pazīstami kā diskrēti komplekti; Šo kopu piemērs ir veseli skaitļi, grafiki vai loģiskas izteiksmes, un tie tiek piemēroti dažādās zinātnes jomās, galvenokārt skaitļošanas vai skaitļošanas jomā..

Indekss

  • 1 Apraksts
  • 2 Kāda ir diskrēta matemātika??
    • 2.1. Kombinatoriskais
    • 2.2. Diskrētās izplatīšanas teorija
    • 2.3 Informācijas teorija
    • 2.4
    • 2.5 Kriptogrāfija
    • 2.6 Loģika
    • 2.7. Grafiku teorija
    • 2.8. Ģeometrija
  • 3 Komplektu teorija
    • 3.1. Galīgais komplekts
    • 3.2. Bezgalīgs grāmatvedības komplekts
  • 4 Atsauces

Apraksts

Diskrētā matemātikā procesi ir skaitāmi, pamatojoties uz veseliem skaitļiem. Tas nozīmē, ka decimālskaitļi netiek izmantoti un līdz ar to tuvināšana vai ierobežojumi netiek izmantoti, tāpat kā citās jomās. Piemēram, viens nezināms var būt vienāds ar 5 vai 6, bet nekad 4.99 vai 5.9.

No otras puses, grafiskajā attēlojumā mainīgie būs diskrēti un tiek doti no ierobežota punktu kopuma, kas tiek skaitīti pa vienam, kā redzams attēlā:

Diskrētās matemātikas pamatā ir vajadzība iegūt precīzu pētījumu, ko var apvienot un pārbaudīt, lai to piemērotu dažādās jomās.

Kāda ir diskrēta matemātika??

Diskrētā matemātika tiek izmantota vairākās jomās. Starp galvenajiem ir šādi:

Kombinatorisks

Pētīt galīgos komplektus, kur elementus var pasūtīt vai apvienot un saskaitīt.

Diskrētās izplatīšanas teorija

Izpētes notikumi, kas notiek telpās, kur paraugi var būt skaitāmi, kuros pastāvīgi sadalījumi tiek izmantoti, lai tuvinātu diskrētos sadalījumus, vai citādi.

Informācijas teorija

Tas attiecas uz informācijas kodēšanu, ko izmanto datu, piemēram, analogo signālu, projektēšanai un pārraidei un uzglabāšanai.

IT

Izmantojot diskrētas matemātikas problēmas, tiek risinātas algoritmi, kā arī pētīts, ko var aprēķināt, un laiku, kas nepieciešams, lai to paveiktu (sarežģītība)..

Diskrētās matemātikas nozīme šajā jomā ir pieaugusi pēdējās desmitgadēs, īpaši programmēšanas valodu un programmatūra.

Kriptogrāfija

Tā pamatā ir diskrēta matemātika, lai izveidotu drošības struktūras vai šifrēšanas metodes. Šādas lietojumprogrammas piemērs ir paroles, atsevišķi nosūtot bitus, kas satur informāciju.

Pētījumā veselo skaitļu un primāro numuru (skaitļu teorijas) īpašības var radīt vai iznīcināt šīs drošības metodes.

Loģika

Tiek izmantotas diskrētas struktūras, kas parasti veido ierobežotu komplektu, lai pierādītu teorēmas vai, piemēram, pārbaudītu programmatūru.

Grafikas teorija

Tas ļauj izšķirt loģiskas problēmas, izmantojot mezglus un līnijas, kas veido grafa veidu, kā parādīts šādā attēlā:

Tā ir joma, kas cieši saistīta ar diskrētu matemātiku, jo algebriskās izteiksmes ir diskrētas. Tādējādi tiek izstrādātas elektroniskās shēmas, procesori, programmēšana (Būla algebra) un datu bāzes (relāciju algebra)..

Ģeometrija

Izpētīt ģeometrisko objektu, piemēram, plaknes pārklājumu, kombinatoriskās īpašības. No otras puses, skaitļošanas ģeometrija ļauj izstrādāt ģeometriskas problēmas, izmantojot algoritmus.

Komplektu teorija

Diskrētās matemātikas kopās (galīgais un bezgalīgais skaits) ir pētījuma galvenais mērķis. Komplektu teoriju publicēja Džordžs Kantors, kurš parādīja, ka visiem bezgalīgajiem komplektiem ir vienāds izmērs.

Komplekts ir elementu (skaitļu, lietu, dzīvnieku un cilvēku) kopums, kas ir precīzi definēts; tas ir, ir saikne, saskaņā ar kuru katrs elements pieder pie kopas, un ir izteikts, piemēram, uz ∈ A.

Matemātikā ir dažādi komplekti, kas grupē noteiktus numurus atbilstoši to raksturlielumiem. Tātad, piemēram, jums ir:

- Dabisko skaitļu komplekts N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞.

- Veseli skaitļi E = -∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞.

- Racionālo numuru apakškopa Q * = -∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞.

- Reālo skaitļu kopa R = -∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞.

Komplekti tiek nosaukti ar alfabēta burtiem, kapitalizēti; kamēr elementi ir nosaukti mazajiem burtiem, iekšpuses () un atdalīti ar komatiem (,). Tie parasti ir attēloti tādās diagrammās kā Venns un Carolls, kā arī skaitļošanas ziņā.

Ar pamatdarbībām, piemēram, savienību, krustojumu, papildinājumu, atšķirību un Dekarta produktu, kopas un to elementi tiek pārvaldīti, pamatojoties uz piederības attiecībām.

Ir vairāki komplekti, kas visvairāk pētīti diskrētajā matemātikā:

Galīgais komplekts

Tas ir tāds, kam ir ierobežots elementu skaits un kas atbilst dabiskajam skaitlim. Tātad, piemēram, A = 1, 2, 3,4 ir ierobežots komplekts, kurā ir 4 elementi.

Bezgalīgs grāmatvedības komplekts

Tas ir tas, kurā ir kopums starp komplekta elementiem un dabiskajiem skaitļiem; tas nozīmē, ka no elementa var secīgi uzskaitīt visus komplekta elementus.

Tādā veidā katrs elements atbilst katram dabisko numuru kopas elementam. Piemēram:

Z veselu skaitļu kopa Z = ... -2, -1, 0, 1, 2 ... var tikt uzskaitīta kā Z = 0, 1, -1, 2, -2 .... Šādā veidā ir iespējams veikt savstarpēju atbilstību starp Z elementiem un dabiskajiem skaitļiem, kā parādīts šādā attēlā:

Tā ir metode, ko izmanto, lai risinātu nepārtrauktas problēmas (modeļus un vienādojumus), kas jāpārvērš atsevišķās problēmās, kurās risinājums ir zināms ar nepārtrauktas problēmas risinājuma tuvināšanu.

Citādi skatoties, diskretizācija cenšas iegūt galīgo daudzumu no bezgalīgas punktu kopas; šādā veidā nepārtraukta vienība tiek pārveidota par atsevišķām vienībām.

Parasti šī metode tiek izmantota skaitliskajā analīzē, piemēram, diferenciālvienādojuma risināšanā, izmantojot funkciju, kuru reprezentē ierobežots datu apjoms savā domēnā, pat ja tas ir nepārtraukts.

Vēl viens diskretizācijas piemērs ir tā izmantošana analogā signāla pārvēršanai ciparu formātā, kad nepārtrauktas signāla vienības tiek pārvērstas atsevišķās vienībās (tās ir diskretizētas) un pēc tam kodētas un kvantētas, lai iegūtu digitālo signālu.

Atsauces

  1. Grimaldi, R. P. (1997). Diskrēta un kombinatoriska matemātika. Addison Wesley Iberoamericana.
  2. Ferrando, V. Gregori. (1995). Diskrētā matemātika Reverte.
  3. Jech, T. (2011). Noteikt teoriju. Stanfordas enciklopēdija filozofijā.
  4. José Francisco Villalpando Becerra, A. G. (2014). Diskrētā matemātika: lietojumprogrammas un vingrinājumi. Patria Redakcijas grupa.
  5. Landau, R. (2005). Datortehnika, pirmais zinātnes kurss.
  6. Merayo, F. G. (2005). Diskrētā matemātika. Thomson Editorial.
  7. Rosen, K. H. (2003). Diskrētā matemātika un tās pielietojumi. McGraw-Hill.
  8. Schneider, D. G. (1995). Loģiska pieeja diskrētai matemātikai.