Lineārā interpolācijas metode, atrisinātas vingrinājumi

The lineāra interpolācija ir metode, kas nāk no Ņūtona vispārējās interpolācijas un ļauj ar tuvinājumu noteikt nezināmu vērtību, kas ir starp diviem konkrētiem skaitļiem; tas ir, ir starpvērtība. To piemēro arī aptuvenām funkcijām, kur vērtības f_(a) un f_b) tie ir zināmi un jūs vēlaties zināt f_(x).

Ir dažādi interpolācijas veidi, piemēram, lineārā, kvadrātiskā, kubiskā un augstākā pakāpe, vienkāršākā ir lineārā tuvināšana. Cena, kas jāmaksā ar lineāro interpolāciju, ir tā, ka rezultāts nebūs tik precīzs kā ar aptuvenām vērtībām ar augstākās pakāpes funkcijām.

Indekss

• 1 Definīcija
• 2 Metode
• 3 Risinājumi atrisināti
  • 3.1. 1. uzdevums
  • 3.2. 2. uzdevums
• 4 Atsauces

Definīcija

Lineārā interpolācija ir process, kas ļauj secināt vērtību starp divām skaidri definētām vērtībām, kuras var būt tabulā vai lineārā diagrammā.

Piemēram, ja jūs zināt, ka 3 litri piena ir vērts $ 4 un ka 5 litrus ir vērts $ 7, bet jūs vēlaties zināt, kas ir 4 litru piena, interpolējot, lai noteiktu šo starpvērtību.

Metode

Lai novērtētu funkcijas starpvērtību, funkcija f ir tuvināta_(x) ar taisnu līniju r_(x), tas nozīmē, ka funkcija mainās lineāri ar "x", kas attiecas uz "x = a" un "x = b"; tas ir, par "x" vērtību intervālā (x₀, x₁) un (un₀, un₁) "y" vērtību norāda līnija starp punktiem, un to izsaka ar šādu attiecību:

(un - un₀) ÷ (x - x₀) = (un₁ - un₀) ÷ (x₁ - x₀)

Lai interpolācija būtu lineāra, ir nepieciešams, lai interpolācijas polinoms būtu grādu pakāpes (n = 1), lai tas pielāgotos x vērtībām.₀ un x_1.

Lineārā interpolācija ir balstīta uz trijstūru līdzību, tā, ka ģeometriski iegūstot no iepriekšējās izteiksmes, mēs varam iegūt vērtību "y", kas attēlo "x" nezināmo vērtību..

Tādā veidā jums ir:

a = tan Ɵ = (pretējā pusē)₁ ÷ blakus esošā kāja₁) = (pretējā pusē₂ ÷ blakus esošā kāja₂)

Izsakot citādi, tas ir:

(un - un₀) ÷ (x - x₀) = (un₁ - un₀) ÷ (x₁ - x₀)

Jums ir:

(un - un₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (un₁ - un₀)

(un - un₀) = (un₁ - un₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Tādējādi mēs iegūstam vispārēju vienādojumu lineārai interpolācijai:

y = y_{0 +} (un₁ - un₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Kopumā lineārā interpolācija rada nelielu kļūdu patiesās funkcijas faktiskajai vērtībai, lai gan kļūda ir minimāla salīdzinājumā ar, ja intuitīvi izvēlaties numuru, kas ir tuvs tam, ko vēlaties atrast.

Šī kļūda rodas, mēģinot tuvināt līknes vērtību ar taisnu līniju; šajos gadījumos intervāla lielums ir jāsamazina, lai precizējums būtu precīzāks.

Lai iegūtu labākus rezultātus attiecībā uz pieeju, ieteicams izmantot 2., 3. vai 3. pakāpes funkcijas, lai veiktu interpolāciju. Šajos gadījumos Taylor teorēma ir ļoti noderīgs instruments.

Atrisinātās mācības

1. uzdevums

Baktēriju skaits uz vienu tilpuma vienību, kas pastāv inkubācijā pēc x stundām, ir parādīts nākamajā tabulā. Jūs vēlaties zināt, kāds ir baktēriju apjoms 3,5 stundas.

Risinājums

Atsauces tabulā nav noteikta vērtība, kas norāda baktēriju daudzumu 3,5 stundas, bet tām ir augstākas un zemākas vērtības, kas atbilst attiecīgi 3 un 4 stundām. Tādā veidā:

x₀ = 3 un₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 un₁ = 135

Tagad tiek izmantots matemātiskais vienādojums, lai atrastu interpolēto vērtību, kas ir šāda:

y = y_{0 +} (un₁ - un₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Tad tiek aizstātas atbilstošās vērtības:

y = 91 + (135 - 91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113.

Tādējādi tiek iegūts, ka 3,5 stundu laikā baktēriju daudzums ir 113, kas ir starpposms starp baktēriju tilpumu 3 un 4 stundu laikā..

2. uzdevums

Luisam ir saldējuma fabrika, un viņš vēlas veikt pētījumu, lai noteiktu ienākumus, kas viņam bija augustā no veiktajiem izdevumiem. Uzņēmuma vadītājs veido grafiku, kas izsaka šīs attiecības, bet Luis vēlas zināt:

Kādi ir augusta ienākumi, ja tika veikti 55 000 ASV dolāru izdevumi??

Risinājums

Grafiks ir dots ar ienākumu un izdevumu vērtībām. Luis vēlas uzzināt, kas ir augusta ienākumi, ja rūpnīcai ir izdevumi 55 000 ASV dolāru apmērā. Šī vērtība netiek tieši atspoguļota grafikā, bet lielākas un zemākas par šo vērtību.

Vispirms tiek veidota tabula, kur viegli saistīt vērtības:

Tagad, lai noteiktu y vērtību, tiek izmantota interpolācijas formula

y = y_{0 +} (un₁ - un₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Tad tiek aizstātas atbilstošās vērtības:

y = 56 000 + (78 000 - 56 000) _* [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56 000 + (22 000) _* [(10 000) ÷ (17 000)]

y = 56 000 + (22 000) _* (0,588)

y = 56 000 + 12,936

y = $ 68,936.

Ja augustā tika veikti 55 000 ASV dolāru izdevumi, ienākumi bija $ 68,936.

Atsauces

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
2. Harpe, P. d. (2000). Ģeometriskās grupas teorijas tēmas. Čikāgas preses universitāte.
3. Hazewinkel, M. (2001). Lineārā interpolācija ", matemātikas enciklopēdija.
4. , J. M. (1998). Skaitlisko metožu elementi inženierzinātnēs. UASLP.
5. , E. (2002). Interpolācijas hronoloģija: no senās astronomijas līdz mūsdienu signālu un attēlu apstrādei. IEEE darbība.
6. skaitliski, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.