Daļējas frakciju lietas un piemēri



The daļējas frakcijas tās ir frakcijas, ko veido polinomi, kuros saucējs var būt lineārs vai kvadrātisks polinoms un turklāt var tikt paaugstināts līdz kādai jaudai. Dažreiz, ja mums ir racionālas funkcijas, ir ļoti lietderīgi pārrakstīt šo funkciju kā daļējo frakciju vai vienkāršu frakciju summu.

Tas tā ir tāpēc, ka šādā veidā mēs varam labāk manipulēt ar šīm funkcijām, jo ​​īpaši tajos gadījumos, kad ir nepieciešams integrēt šo pieteikumu. Racionāla funkcija ir vienkārši koeficients starp diviem polinomiem, un tas var būt pareizs vai nepareizs.

Ja skaitītāja polinoma pakāpe ir mazāka par saucēju, to sauc par savu racionālo funkciju; pretējā gadījumā tā ir pazīstama kā nepareiza racionāla funkcija.

Indekss

  • 1 Definīcija
  • 2 Lietas
    • 2.1. 1. gadījums
    • 2.2. 2. gadījums
    • 2.3. 3. gadījums
    • 2.4. 4. gadījums
  • 3 Pieteikumi
    • 3.1. Visaptverošs aprēķins
    • 3.2. Masu rīcības likums
    • 3.3. Diferenciālvienādojumi: loģistikas vienādojums
  • 4 Atsauces

Definīcija

Ja mums ir nepareiza racionāla funkcija, mēs varam sadalīt skaitītāja polinomu starp saucēja polinomu un tādējādi pārrakstīt frakciju p (x) / q (x), ievērojot sadalījuma algoritmu kā t (x) + s (x) / q (x), kur t (x) ir polinoms un s (x) / q (x) ir sava racionāla funkcija.

Daļēja frakcija ir jebkura pareiza polinomu funkcija, kuras saucējs ir formas (ax + b)n o (cirvis2+ bx + c)n, ja polinoma cirvis2 + bx + c nav reālu sakņu un n ir dabisks skaitlis.

Lai daļējas frakcijās pārrakstītu racionālu funkciju, vispirms ir jānorāda saucējs q (x) kā lineāro un / vai kvadrātisko faktoru produkts. Pēc tam tiek noteiktas daļējas frakcijas, kas atkarīgas no minēto faktoru rakstura.

Gadījumi

Mēs apsveram vairākas lietas atsevišķi.

1. gadījums

Q (x) faktori ir visi lineāri un neviens netiek atkārtots. Tas ir:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Tur neviens lineārs faktors nav identisks citam. Kad tas notiks, mēs rakstīsim:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Kur A1,A2,..., As ir konstantes, kuras vēlaties atrast.

Piemērs

Mēs vēlamies sadalīt racionālo funkciju vienkāršās daļās:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Mēs turpinām faktorētāja faktoru, tas ir:

x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Tad:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Piemērojot vismazāk izplatītus vairākus, varat iegūt:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Mēs vēlamies iegūt A, B un C konstantes, kuras var atrast, aizstājot saknes, kas atceļ katru no šiem noteikumiem. 0 nomainot x, mums ir:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Aizvietotājs - 1 x, ja mums ir:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Aizvietotājs - 2 x, mums ir:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

Tādā veidā iegūst vērtības A = -1/2, B = 2 un C = -3/2..

Ir vēl viena metode A, B un C vērtību iegūšanai. Ja vienādojuma labajā pusē x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x mēs apvienojam terminus, mums ir:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Tā kā tas ir polinomu vienlīdzība, mums ir, ka kreisās puses koeficientiem jābūt vienādiem ar labās puses koeficientiem. Tas rada šādu vienādojumu sistēmu:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Risinot šo vienādojumu sistēmu, iegūstam rezultātus A = -1/2, B = 2 un C = -3/2.

Visbeidzot, aizstājot iegūtās vērtības, mums ir:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

2. gadījums

Q (x) faktori ir visi lineāri un daži tiek atkārtoti. Pieņemsim, ka (ax + b) ir koeficients, kas tiek atkārtots "s" reizes; tad šim faktoram atbilst "s" daļējo frakciju summa.

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 +... + A1/ (ax + b).

Kur As,As-1,..., A1 tās ir konstantes, kas jānosaka. Ar šādu piemēru mēs parādīsim, kā noteikt šīs konstantes.

Piemērs

Sadalieties daļējās frakcijās:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Racionālo funkciju mēs rakstām kā daļēju frakciju summu:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + E / (x - 2).

Tad:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Aizvietojot 2, lai x, mums ir:

7 = 4C, tas ir, C = 7/4.

0 nomainot x, mums ir:

- 1 = -8A vai A = 1/8.

Aizstājot šīs vērtības iepriekšējā vienādojumā un attīstot, mums ir:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + Piem2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Pielāgojot koeficientus, iegūstam šādu vienādojumu sistēmu:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Sistēmas atrisināšana, mums ir:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Tādēļ mums ir:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

3. gadījums

Q (x) faktori ir kvadrātiski lineāri, bez jebkāda kvadrātiska faktora atkārtošanās. Šajā gadījumā kvadrātiskais faktors (cirvis2 + bx + c) atbilst daļējai frakcijai (Ax + B) / (cirvis)2 + bx + c), kur A un B konstantes ir tās, kuras vēlaties noteikt.

Nākamais piemērs parāda, kā rīkoties šajā gadījumā

Piemērs

Sadalieties vienkāršās daļās a (x + 1) / (x3 - 1).

Vispirms mēs iesakām faktoru, kas dod mums vārdu, kā rezultātā:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Mēs to redzam (x2 + x + 1) ir nesamazināms kvadrātiskais polinoms; tas ir, tam nav reālu sakņu. Tā sadalīšanās daļējās frakcijās būs šāda:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

No tā mēs iegūstam šādu vienādojumu:

x + 1 = (A + B) x2 +(A - B + C) x + (A - C)

Izmantojot vienādus polinomus, iegūstam šādu sistēmu:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

No šīs sistēmas mums ir A = 2/3, B = - 2/3 un C = 1/3. Aizstājot, mums ir:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

4. gadījums

Visbeidzot, 4. gadījums ir tāds, kurā q (x) faktori ir lineāri un kvadrātiski, kur daži lineārie kvadrātiskie faktori tiek atkārtoti.

Šajā gadījumā jā (cirvis2 + bx + c) ir kvadrātiskais koeficients, kas tiek atkārtots "s" reizes, tad daļējais frakcija, kas atbilst faktora (cirvi)2 + bx + c) būs:

(A)1x + B) / (cirvis2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (cirvis)2 + bx + c)s-1 + (A)sx + Bs) / (cirvis)2 + bx + c)s

Kur As, As-1,..., A un Bs, Bs-1,..., B ir konstantes, kuras vēlaties noteikt.

Piemērs

Mēs vēlamies sadalīt šādu racionālu funkciju daļējās frakcijās:

(x - 2) / (x (x. \ t2 - 4x + 5)2)

Tāpat kā x2 - 4x + 5 ir nesamazināms kvadrātiskais faktors, jo tā sadalīšanās daļējās frakcijās ir:

(x - 2) / (x (x. \ t2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Vienkāršojot un attīstot, mums ir:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

No iepriekš minētā mums ir šāda vienādojumu sistēma:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Atrisinot sistēmu, mums ir:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 un E = - 3/5.

Nomainot iegūtās vērtības, mums ir:

(x - 2) / (x (x. \ t2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

Programmas

Visaptverošs aprēķins

Daļējās frakcijas tiek izmantotas galvenokārt integrālā aprēķina pētīšanai. Zemāk mēs redzēsim dažus piemērus, kā padarīt integrālus izmantojot daļējas frakcijas.

1. piemērs

Mēs vēlamies aprēķināt:

Mēs redzam, ka saucējs q (x) = (t + 2)2(t + 1) veido lineārie faktori, ja viens no šiem atkārtojumiem; tam mēs esam gadījumā 2.

Mums ir:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Mēs pārrakstām vienādojumu un mums ir:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Ja t = - 1, mums ir:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Ja t = - 2, tas dod mums:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Tad, ja t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

A un C vērtību aizvietošana:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

No iepriekš minētā mums ir, ka B = - 1.

Mēs pārrakstām integrālu kā:

Mēs turpinām to atrisināt ar aizstāšanas metodi:

Rezultātā:

2. piemērs

Atrisiniet šādu integrālu:

Šādā gadījumā mēs varam faktoru q (x) = x2 - 4 kā q (x) = (x - 2) (x + 2). Ir skaidrs, ka mēs esam 1. gadījumā. Tāpēc:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

To var izteikt arī kā:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ja x = - 2, mums ir:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Un, ja x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Tādējādi mums ir jāatrisina konkrētā integrālis, kas ir līdzvērtīgs, lai atrisinātu:

Tas mums dod:

3. piemērs

Atrisiniet integrālu:

Mums ir q (x) = 9x4 + x2 , ka mēs varam faktoru q (x) = x2(9x2 + 1).

Šajā gadījumā mums ir atkārtots lineārs faktors un kvadrātiskais faktors; tas ir, mēs esam gadījumā 3.

Mums ir:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Grupējot un izmantojot polinomu vienlīdzību, mums ir:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

No šīs vienādojumu sistēmas mums ir:

D = - 9 un C = 0

Šādā veidā mums ir:

Atrisinot iepriekš minēto, mums ir:

Masu rīcības likums

Ķīmijā, precīzāk, masu darbības likumā, ir atrodama interesanta pielietošana daļējai frakcijai, kas tiek izmantota integrālajam aprēķinam.

Pieņemsim, ka mums ir divas vielas - A un B, kas sanāk kopā un veido vielu C, tā ka C daudzuma atvasinājums attiecībā pret laiku ir proporcionāls A un B daudzuma produktam jebkurā brīdī..

Mēs varam izteikt masveida rīcības likumu šādi:

Šajā izteiksmē α ir sākotnējais gramu daudzums, kas atbilst A un β sākotnējam gramu daudzumam, kas atbilst B.

Turklāt r un s ir attiecīgi A un B gramu skaits, kas apvienojas, veidojot r + s gramus C. No savas puses x apzīmē vielas C daudzumu gramos laikā t un K ir proporcionalitāti. Iepriekš minēto vienādojumu var pārrakstīt kā:

Veicot šādas izmaiņas:

Mums ir, ka vienādojums kļūst par:

No šīs frāzes mēs varam iegūt:

Ja jā a ≠ b, integrācijai var izmantot daļējas frakcijas.

Piemērs

Piemēram, ņemiet vērā vielu C, kas rodas, apvienojot A vielu ar B, tādā veidā, ka tiek ievērots masu likums, ja a un b vērtības ir attiecīgi 8 un 6. Dodiet vienādojumu, kas dod mums C vērtības gramos kā laika funkciju.

Aizstājot vērtības attiecīgajā masu likumā, mums ir:

Atdalot mainīgos, mums ir:

Šeit 1 / (8 - x) (6 - x) var tikt rakstīts kā daļējo frakciju summa:

Tādējādi 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ja mēs aizvietojam x uz 6, mums ir B = 1/2; un aizvietojot x uz 8, mums ir A = - 1/2.

Integrējot ar daļējām frakcijām, mums ir:

Tas mums dod:

Diferenciālvienādojumi: loģistikas vienādojums

Vēl viena programma, ko var sniegt daļējām frakcijām, ir loģistikas diferenciālvienādojumā. Vienkāršos modeļos mēs esam norādījuši, ka iedzīvotāju skaita pieauguma temps ir proporcionāls tās lielumam; tas ir:

Šis gadījums ir ideāls un tiek uzskatīts par reālistisku līdz brīdim, kad gadās, ka sistēmā pieejamie resursi nav pietiekami, lai uzturētu iedzīvotājus.

Šādās situācijās ir saprātīgāk domāt, ka pastāv maksimālā jauda, ​​ko mēs saucam L, ka sistēma var uzturēt un ka pieauguma temps ir proporcionāls iedzīvotāju lielumam, kas reizināts ar pieejamo lielumu. Šis arguments rada šādu diferenciālvienādojumu:

Šo izteiksmi sauc par loģistisko diferenciālo vienādojumu. Tas ir atdalāms diferenciālvienādojums, ko var atrisināt ar integrācijas metodi ar daļējām frakcijām.

Piemērs

Kā piemēru var minēt populāciju, kas aug saskaņā ar šādu loģistisko diferenciālo vienādojumu y '= 0.0004y (1000 - y), kura sākotnējie dati ir 400. Mēs vēlamies uzzināt iedzīvotāju skaitu laikā t = 2, kur t tiek mērīts gados.

Ja mēs rakstām a un 'ar Leibniz apzīmējumu kā funkciju, kas ir atkarīga no t, mums ir:

Kreisās puses integrālo daļu var atrisināt, izmantojot integrācijas metodi ar daļējām frakcijām:

Šo pēdējo vienlīdzību var pārrakstīt šādi:

- Y = 0 aizvietošana mums ir A 1/1000.

- Aizvietojot y = 1000, B ir vienāds ar 1/1000.

Ar šīm vērtībām integrālis tiek atstāts šādi:

Risinājums ir:

Sākotnējo datu izmantošana:

Notīrot un atstājot:

Tad mums ir t = 2:

Visbeidzot, pēc 2 gadiem iedzīvotāju skaits ir aptuveni 597,37.

Atsauces

  1. A, R. A. (2012). Matemātika 1. Andu Universitāte. Publikāciju padome.
  2. Cortez, I., un Sanchez, C. (s.f.). 801 atrisināti integrāli. Tiraira Nacionālā eksperimentālā universitāte.
  3. Leithold, L. (1992). APRĒĶINĀŠANA ar analītisko ģeometriju. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Aprēķins. Meksika: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Visaptverošs aprēķins. Hypotenuse.