Aptuvenais aprēķins, izmantojot diferenciālu

Matemātikas tuvināšana ir skaitlis, kas nav precīza vērtības vērtība, bet ir tik tuvu tam, ka to uzskata par noderīgu, jo precīza vērtība.

Kad matemātikā tiek veikti tuvinājumi, tas ir tāpēc, ka manuāli ir grūti (vai reizēm neiespējami) zināt precīzu to, ko vēlas.

Galvenais instruments, strādājot ar aptuvenām vērtībām, ir funkcijas atšķirība.

Funkcijas f atšķirība, kas apzīmēta ar Δf (x), ir ne vairāk kā funkcijas f atvasinājums, kas reizināts ar izmaiņām neatkarīgajā mainīgajā, tas ir, Δf (x) = f '(x) * Δx.

Dažreiz df un dx tiek izmantoti Δf un Δx vietā.

Pieejas, izmantojot diferenciāciju

Formula, kas tiek izmantota, lai veiktu tuvināšanu, izmantojot diferenciāciju, rodas tieši no funkcijas kā ierobežojuma atvasinājuma definīcijas..

Šo formulu sniedz:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Šeit tiek saprasts, ka Δx = x-x0, tāpēc x = x0 + Δx. Izmantojot šo formulu, to var pārrakstīt kā

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Jāatzīmē, ka "x0" nav patvaļīga vērtība, bet tā ir vērtība, ka f (x0) ir viegli pazīstama; Turklāt "f (x)" ir tikai vērtība, kuru mēs vēlamies tuvināt.

Vai ir labākas tuvināšanās?

Atbilde ir „jā”. Iepriekšējais ir vienkāršākais no tuvinājumiem, ko sauc par "lineāro tuvināšanu".

Labākas kvalitātes tuvināšanai (kļūda ir mazāka) tiek izmantoti polinomi ar vairākiem atvasinājumiem, ko sauc par "Taylor polynomials", kā arī citas skaitliskas metodes, piemēram, Newton-Raphson metodi..

Stratēģiju

Sekojošā stratēģija ir:

- Izvēlieties atbilstošo funkciju f, lai veiktu tuvināšanu, un vērtību "x", lai f (x) ir vērtība, kuru vēlaties tuvināt.

- Izvēlieties vērtību "x0", tuvu "x", lai f (x0) būtu viegli aprēķināt.

- Aprēķināt Δx = x-x0.

- Aprēķiniet funkcijas atvasinājumu un f '(x0).

- Nomainiet datus formulā.

Atrisināti tuvināšanas vingrinājumi

Turpinājumā notiek virkne vingrinājumu, kuros tiek veikti tuvinājumi, izmantojot diferenciālu.

Pirmais uzdevums

Apmēram √3.

Risinājums

Ievērojot stratēģiju, jāizvēlas atbilstoša funkcija. Šajā gadījumā ir redzams, ka izvēlētā funkcija ir f (x) = √x un aptuvenā vērtība ir f (3) = √3.

Tagad mums ir jāizvēlas vērtība "x0" tuvu "3", lai f (x0) būtu viegli aprēķināt. Ja izvēlaties "x0 = 2", jums ir, ka "x0" ir tuvu "3", bet f (x0) = f (2) = √2 nav viegli aprēķināt.

"X0" vērtība, kas ir ērta, ir "4", jo "4" ir tuvu "3" un arī f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Ja "x = 3" un "x0 = 4", tad Δx = 3-4 = -1. Tagad mēs turpinām aprēķināt f atvasinājumu. Tas ir, f '(x) = 1/2 * √x, lai f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Aizstājot visas vērtības formulā, ko saņemat:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Ja tiek izmantots kalkulators, tiek iegūts, ka √3≈1.73205 ... Tas liecina, ka iepriekšējais rezultāts ir laba tuvināšanās reālajai vērtībai.

Otrais uzdevums

Apmēram √10.

Risinājums

Tāpat kā iepriekš, tā tiek izvēlēta kā funkcija f (x) = √x un šajā gadījumā x = 10.

Vērtība x0, kas jāizvēlas šajā iespēja, ir "x0 = 9". Tad mums ir Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 un f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Novērtējot formulu, jūs to saņemsiet

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Izmantojot kalkulatoru, jūs iegūsiet, ka √10 ≈ 3.1622776 ... Šeit jūs varat arī redzēt, ka pirms tam tika iegūta laba aproksimācija..

Trešais uzdevums

Aptuvenais ≥ 10, kur ³√ apzīmē kubisko sakni.

Risinājums

Skaidrs, ka šajā uzdevumā izmantojamā funkcija ir f (x) = ³√x, un "x" vērtībai jābūt "10"..

Vērtība, kas ir tuva "10", lai tā kuba sakne būtu zināma, ir "x0 = 8". Tad mums ir tas, ka Δx = 10-8 = 2 un f (x0) = f (8) = 2. Mums ir arī tas, ka f '(x) = 1/3 * ³√x², un attiecīgi f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Aizstājot datus formulā, iegūst, ka:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ... .

Kalkulators saka, ka √√10 ≈ 2.15443469 ... Līdz ar to konstatētā aproksimācija ir laba.

Ceturtais uzdevums

Aptuvenais ln (1,3), kur "ln" apzīmē dabisko logaritma funkciju.

Risinājums

Pirmkārt, tiek izvēlēta funkcija f (x) = ln (x) un "x" vērtība ir 1,3. Tagad, zinot mazliet par logaritma funkciju, mēs varam zināt, ka ln (1) = 0, kā arī "1" ir tuvu "1.3". Tāpēc tiek izvēlēts "x0 = 1", un Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

No otras puses, f '(x) = 1 / x, lai f' (1) = 1. Vērtējot konkrētajā formulā, jums ir:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Ja izmantojat kalkulatoru, jums ir jābūt ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Tātad tuvinājums ir labs.

Atsauces

1. Flemings, W., un, Varberg, D., E., (1989). Precalculus matemātika. Prentice Hall PTR.
2. Flemings, W., un, Varberg, D., E., (1989). Precalculus matemātika: problēmu risināšanas pieeja (2, Illustrated ed.). Mičigana: Prentice zāle.
3. Flemings, W., un, Varberg, D., (1991). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
4. Larsons, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage mācīšanās.
5. Leal, J. M., un Vilorija, N. G. (2005). Plakanā analītiskā ģeometrija. Mérida - Venecuēla: redakcijas Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Aprēķins (Devītais izdevums). Prentices zāle.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciālais aprēķins ar agrīnām pārpasaulīgām funkcijām zinātnē un inženierzinātnēs (Otrā izdevuma izdevums). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Dekarta plaknes ģeometrija, daļa: Analītiskā konika (1907) (atkārtota izdrukāšana). Zibens avots.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.