Tehniskās skaitīšanas metodes, pielietojumi un piemēri

The skaitīšanas metodes ir virkne varbūtības metožu, lai aprēķinātu iespējamo kārtību skaitu komplekta vai vairāku objektu kopās. Tie tiek izmantoti, veicot kontus manuāli kļūstot sarežģītākiem sakarā ar lielo objektu un / vai mainīgo skaitu.

Piemēram, šīs problēmas risinājums ir ļoti vienkāršs: iedomājieties, ka jūsu priekšnieks lūdz jums saskaitīt pēdējos produktus, kas ieradušies pēdējā stundā. Šādā gadījumā jūs varat iet un skaitīt produktus pa vienam.

Tomēr iedomājieties, ka šī problēma ir tāda: jūsu priekšnieks lūdz jūs paļauties uz to, cik daudz piecu vienāda veida produktu grupu var izveidot kopā ar tiem, kuri ieradušies pēdējā stundā. Šajā gadījumā aprēķins kļūst sarežģīts. Šāda veida situācijās tiek izmantotas tā sauktās skaitīšanas metodes.  

Šīs metodes ir vairākas, bet vissvarīgākās ir iedalītas divos pamatprincipos, kas ir multiplikācijas un piedevas; permutācijas un kombinācijas.

Indekss

• 1 reizinošs princips
  • 1.1 Pieteikumi
  • 1.2 Piemērs
• 2 Piedevas princips 
  • 2.1 Pieteikumi
  • 2.2 Piemērs
• 3 Permutācijas
  • 3.1 Pieteikumi
  • 3.2 Piemērs
• 4 Kombinācijas
  • 4.1 Pieteikumi
  • 4.2 Piemērs
• 5 Atsauces 

Daudzkārtējs princips

Programmas

Multiplicējošais princips kopā ar piedevu ir pamats, lai saprastu skaitīšanas paņēmienu darbību. Vairāku reižu gadījumā tas sastāv no:

Iedomājieties darbību, kas ietver noteiktu skaitu soļu (kopējais ir apzīmēts kā "r"), kur pirmo soli var veikt no N1 veidlapām, N2 otro soli un Nr formu "r". Šādā gadījumā darbību var veikt no šo operāciju rezultātā iegūto veidlapu skaita: N1 x N2 x ... .x Nr veidlapas

Tāpēc šo principu sauc par multiplikatīvu, un tas nozīmē, ka katrs no pasākumiem, kas nepieciešami, lai veiktu darbību, ir jāveic viens pēc otra.. 

Piemērs

Iedomāsimies personu, kas vēlas būvēt skolu. Lai to izdarītu, ņemiet vērā, ka ēkas pamatu var izgatavot divos dažādos veidos: cementā vai betonā. Kas attiecas uz sienām, tās var būt izgatavotas no Adobe, cementa vai ķieģeļu.

Attiecībā uz jumtu tā var būt izgatavota no cementa vai cinkotas. Visbeidzot, galīgo glezniecību var veikt tikai vienā veidā. Jautājums ir šāds: Cik daudz veidu skolai ir jāveido??

Pirmkārt, mēs ņemam vērā soļu skaitu, kas būtu bāze, sienas, jumts un glezna. Kopumā 4 soļi, tātad r = 4.

Turpmāk būtu jānorāda N:

N1 = veidi, kā veidot bāzi = 2

N2 = veidi, kā veidot sienas = 3

N3 = veidi, kā padarīt jumtu = 2

N4 = veidi, kā iegūt krāsu = 1

Tādēļ iespējamo veidlapu skaitu aprēķinātu, izmantojot iepriekš aprakstīto formulu:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 veidi, kā pabeigt skolu.

Piedevas princips

Programmas

Šis princips ir ļoti vienkāršs, un gadījumā, ja pastāv vairākas alternatīvas, lai veiktu vienu un to pašu darbību, iespējamie veidi ir dažādu iespējamo veidu kopums, lai padarītu visas alternatīvas..

Citiem vārdiem sakot, ja mēs vēlamies veikt darbības ar trim alternatīvām, kur pirmo variantu var izdarīt M formās, otrā - N formā un pēdējo - W formās, aktivitātes var veidot no: M + N + ... + W formas.

Piemērs

Iedomājieties, ka šoreiz persona, kas vēlas iegādāties tenisa raketi. Tam ir trīs zīmoli, no kuriem izvēlēties: Wilson, Babolat vai Head.

Kad viņš dodas uz veikalu, viņš redz, ka Wilson raketi var iegādāties ar divu dažādu izmēru rokturi: L2 vai L3 četros dažādos modeļos, un to var savilkt vai bez stīgas..

No otras puses, Babolat raketei ir trīs rokturi (L1, L2 un L3), ir divi dažādi modeļi, un to var arī savilkt vai bez stīgas.

No otras puses, galvas sacīkšu rotaļlieta ir tikai ar vienu rokturi, L2, divos dažādos modeļos un tikai bez stīgas. Jautājums ir: cik daudz veidu šai personai ir jāpērk savs rakete??

M = Wilson raketes izvēles veidu skaits

N = veidu, kā izvēlēties Babolat raketi

W = galvas raketes izvēles veidu skaits

Mēs veicam reizinātāja principu:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formas

N = 3 x 2 x 2 = 12 formas

W = 1 x 2 x 1 = 2 formas

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 veidi, kā izvēlēties raketi.

Lai uzzinātu, kad izmantot multiplikācijas principu un piedevu, jums tikai jāpārbauda, ​​vai aktivitātei ir jāveic vairāki pasākumi, un ja ir vairākas alternatīvas, piedeva.

Permutācijas

Programmas

Lai saprastu, kas ir permutācija, ir svarīgi izskaidrot, kāda ir kombinācija, lai tos atšķirtu un zinātu, kad tos izmantot.

Kombinācija būtu elementu izkārtojums, kurā mēs neesam ieinteresēti, ka katrs no tiem ieņem vietu.

No otras puses, permutācija būtu elementu izkārtojums, kurā mēs esam ieinteresēti pozīcijā, ko katrs no viņiem ieņem.

Sniegsim piemēru, lai labāk izprastu atšķirību.

Piemērs

Iedomājieties klasi ar 35 studentiem un šādām situācijām:

1. Skolotājs vēlas, lai trīs no saviem skolēniem palīdzētu viņam saglabāt klasi tīru vai piegādātu materiālus citiem studentiem, kad tas ir nepieciešams.
2. Skolotājs vēlas iecelt klases pārstāvjus (prezidents, asistents un finansists).

Risinājums būtu šāds:

1. Iedomājieties, ka, balsojot, Juan, María un Lucía tiek izvēlēti tīrīt klasi vai piegādāt materiālus. Acīmredzot, no 35 iespējamajiem studentiem varētu būt izveidotas citas trīs cilvēku grupas.

Mums ir jāuzdod sev šādi: vai ir svarīgi kārtība vai nostāja, ko katrs no studentiem aizņem to atlases laikā??

Ja mēs domājam par to, mēs redzam, ka tas patiešām nav svarīgi, jo grupa vienlīdz rūpēsies par abiem uzdevumiem. Šajā gadījumā tā ir kombinācija, jo mēs neesam ieinteresēti elementu pozīcijā.

2. Tagad iedomājieties, ka Jānis tiek izvēlēts par prezidentu, Mariju kā palīgu un Luciju kā finanšu.

Šādā gadījumā tas būtu jautājums? Atbilde ir jā, jo, ja mēs mainām elementus, mainās rezultāts. Tas ir, ja tā vietā, lai Juanu nodotu prezidentam, mēs viņu nododam palīgam, un Maria kā prezidents, galīgais rezultāts mainīsies. Šajā gadījumā tā ir permutācija.

Kad atšķirība ir saprotama, mēs iegūsim permutāciju un kombināciju formulas. Tomēr vispirms ir jādefinē termins "n!" (In faktoriāls), jo tas tiks izmantots dažādās formulās.

n! = uz produktu no 1 līdz n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Izmantojot to ar reāliem skaitļiem:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Permutāciju formula ir šāda:

nPr = n! / (n-r)!

Ar to mēs varam noskaidrot kārtību, kādā kārtība ir svarīga, un kur n elementi ir atšķirīgi.

Kombinācijas

Programmas

Kā jau iepriekš teicām, kombinācijas ir kārtība, kurā mēs nerūpējamies par elementu stāvokli.

Tās formula ir šāda:

nCr = n! / (n-r)! r!

Piemērs

Ja 14 skolēni vēlas brīvprātīgi tīrīt klasi, cik tīrīšanas grupu var izveidot 5 cilvēki??

Tāpēc risinājums būtu šāds:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupas

Atsauces

1. Jeffrey, R.C., Varbūtība un sprieduma māksla, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Ievads varbūtības teorijā un tās pielietojumos", (Vol 1), 3. Ed, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Loģiskie pamati un subjektīvās varbūtības mērīšana". Psiholoģiskais likums.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Matemātiskās statistikas ievads (6. izdevums). Augšējā segla upe: Pearson.
5. Franklins, J. (2001) Prognozes zinātne: pierādījumi un varbūtība pirms Pascal,Johns Hopkins University Press.