Kas ir slīpie trīsstūri? (ar atrisinātajiem vingrinājumiem)

The slīpi trijstūri ir tie trīsstūri, kas nav taisnstūri. Tas ir, trīsstūri tādā veidā, ka neviens no tā leņķiem nav taisns leņķis (tā mērījums ir 90º).

Kam nav taisnā leņķa, tad Pitagora teorēmu nevar piemērot šiem trijstūriem.

Tāpēc, lai uzzinātu datus slīpā trijstūrī, ir jāizmanto citas formulas.

Formulas, kas nepieciešamas, lai atrisinātu slīpā leņķa trīsstūri, ir tā dēvētie sinuso un kosinusu likumi, kas tiks aprakstīti vēlāk.

Papildus šiem likumiem vienmēr var izmantot to, ka trijstūra iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180º..

Slīpi trijstūri

Kā jau tika teikts sākumā, slīpais trīsstūris ir tāds trīsstūris, ka neviens no tā leņķiem nav 90 °.

Šķērsvirziena trīsstūra sānu garumu noteikšanas problēma, kā arī tā leņķu mērījumu meklēšana tiek saukta par "slīpā trijstūra izšķirtspēju"..

Svarīgs fakts, strādājot ar trijstūriem, ir tas, ka trijstūra trīs iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180º. Tas ir vispārējs rezultāts, tāpēc slīpiem trīsstūriem to var izmantot arī.

Krūšu un kosinusu likumi

Ņemot vērā ABC trijstūri ar garuma "a", "b" un "c" malām:

- Krūšu likums nosaka, ka a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), kur A, B un C ir pretēji leņķi pret "a", "b" un "c" attiecīgi.

- Kosinusu likums nosaka, ka: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Līdzīgi var izmantot šādas formulas:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) vai a2 = b² + c² - 2bc * cos (A).

Izmantojot šīs formulas, varat aprēķināt slīpā leņķa trijstūra datus.

Vingrinājumi

Šeit ir daži vingrinājumi, kuros jāatrod trūkstošie dati par dotajiem trijstūriem, no dažiem piegādātajiem datiem.

Pirmais uzdevums

Ņemot vērā ABC trijstūri, kas A = 45º, B = 60º un a = 12cm, aprēķiniet citus trīsstūra datus.

Risinājums

Izmantojot šo trijstūra iekšējo leņķu summu, jums ir jābūt vienādam ar 180º

C = 180º - 45º - 60º = 75º.

Trīs leņķi jau ir zināmi. Tad izmantojiet krūšu likumu, lai aprēķinātu abas trūkstošās puses.

Izvirzītie vienādojumi ir 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

No pirmās vienlīdzības jūs varat notīrīt "b" un iegūt to

b = 12 * grēks (60º) / grēks (45º) = 6√6 ≈ 14,696 cm.

Jūs varat arī notīrīt "c" un saņemt to

c = 12 * sin (75º) / grēks (45º) = 6 (1 + +3) ≈ 16,392cm.

Otrais uzdevums

Ņemot vērā ABC trijstūri tā, ka A = 60º, C = 75º un b = 10cm, aprēķiniet citus trīsstūra datus.

Risinājums

Tāpat kā iepriekšējā nodarbībā, B = 180º -60º-75º = 45º. Turklāt, izmantojot krūšu likumu, ir nepieciešams, lai a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), no kuras tiek iegūts, ka a = 10 * grēks (60º) / grēks (45º) = 5√6 × 12,247 cm un c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Trešais vingrinājums

Ņemot vērā ABC trijstūri, ka a = 10cm, b = 15cm un C = 80º, aprēķiniet citus trīsstūra datus.

Risinājums

Šajā uzdevumā ir zināms tikai viens leņķis, tāpēc jūs nevarat sākt, kā jūs darījāt divos iepriekšējos uzdevumos. Arī krūšu likumu nevar piemērot, jo nevienu vienādojumu nevar atrisināt.

Tāpēc mēs turpinām piemērot kosinusu likumu. Tas ir tad

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

tā, lai c ≈ 16,51 cm. Tagad, zinot trīs puses, tiek izmantots krūšu likums, un jūs saņemsiet

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51cm / grēks (80º).

No šejienes, klīringa B rezultāts ir bez (B) = 15 * sin (80º) / 16,51 ≈ 0.894, kas nozīmē, ka B .3 63,38º.

Tagad var iegūt, ka A = 180º - 80º - 63,38º ≈ 36,62º.

Ceturtais uzdevums

Slīpā trijstūra malas ir a = 5cm, b = 3cm un c = 7cm. Aprēķiniet trijstūra leņķus.

Risinājums

Atkal, krūšu likumu nevar piemērot tieši, jo neviena vienādojuma vērtība nedotu leņķu vērtību.

Izmantojot kosīna likumu, mums ir tāds, ka c² = a² + b² - 2ab cos (C), kur, kad mēs skaidri redzam, ka cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 un tāpēc C = 120º.

Tagad, ja jūs varat piemērot krūšu likumu un iegūt 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), kur jūs varat notīrīt B un iegūt, ka bez (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, lai B = 21,79º.

Visbeidzot, pēdējais leņķis tiek aprēķināts, izmantojot A = 180º-120º-21,79º = 38,21º.

Atsauces

1. Landaverde, F. d. (1997). Ģeometrija (Reprint ed.). Progress.
2. Leake, D. (2006). Trīsstūri (ilustrēts red.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
4. Ruiz, Á. & Barrantes, H. (2006). Ģeometrijas. CR tehnoloģija.
5. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrija un analītiskā ģeometrija. Pearson Education.