Kas ir trigonometriskās robežas? (ar atrisinātām nodarbībām)

The trigonometriskie ierobežojumi tās ir tādu funkciju robežas, ka šīs funkcijas veido trigonometriskās funkcijas.

Ir jāzina divas definīcijas, lai saprastu, kā tiek veikts trigonometriskās robežas aprēķins.

Šīs definīcijas ir:

- Funkcijas "f" robeža, kad "x" mēdz "b": tas sastāv no vērtības aprēķināšanas, uz kuru f (x) vēršas kā "x", "b", nesasniedzot "b".

- Trigonometriskās funkcijas: trigonometriskās funkcijas ir sinusa, kosīna un pieskares funkcijas, kas apzīmētas ar sin (x), cos (x) un tan (x).

Citas trigonometriskās funkcijas iegūst no trim iepriekš minētajām funkcijām.

Funkciju ierobežojumi

Lai precizētu funkcijas robežas jēdzienu, tiks parādīti daži piemēri ar vienkāršām funkcijām.

- F (x) = 3 robeža, kad "x" ir "8", ir vienāda ar "3", jo funkcija vienmēr ir nemainīga. Nav svarīgi, cik daudz "x" ir vērts, f (x) vērtība vienmēr būs "3"..

- F (x) = x-2 robeža, kad "x" ir "6", ir "4". Kopš, kad "x" tuvojas "6", tad "x-2" tuvojas "6-2 = 4".

- G (x) = x² robeža, kad "x" mēdz būt "3", ir vienāda ar 9, jo, kad "x" tuvojas "3", tad "x²" tuvojas "3² = 9"..

Kā redzams iepriekšējos piemēros, robežu aprēķināšana sastāv no vērtības, uz kuru "x" ir funkcija, novērtēšana, un rezultāts būs robežas vērtība, lai gan tas attiecas tikai uz nepārtrauktām funkcijām..

Vai ir daudz sarežģītāki ierobežojumi?

Atbilde ir „jā”. Iepriekš minētie piemēri ir vienkāršākie ierobežojumu piemēri. Aprēķinu grāmatās galvenie ierobežojumu uzdevumi ir tie, kas rada nenoteiktību 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 un (∞) ^ 0.

Šīs izpausmes sauc par nenoteiktību, jo tās ir izteiksmes, kurām matemātiski nav jēgas.

Papildus tam, atkarībā no sākotnējā limita funkcijām, rezultāts, kas iegūts nenoteiktību risināšanā, katrā gadījumā var būt atšķirīgs.

Vienkāršu trigonometrisko ierobežojumu piemēri

Lai atrisinātu ierobežojumus, vienmēr ir ļoti noderīgi zināt iesaistīto funkciju grafikus. Zemāk ir sinuso, kosīna un pieskares funkciju grafiki.

Daži vienkārši trigonometriski ierobežojumi ir šādi:

- Aprēķiniet sin (x) robežu, kad "x" ir tendence "0".

Skatot grafiku, var redzēt, ka, ja "x" tuvojas "0" (gan kreisajā, gan labajā pusē), tad sinusa grafiks arī tuvojas "0". Tāpēc sin (x) robeža, kad "x" ir "0", ir "0"..

- Aprēķiniet cos (x) robežu, kad "x" ir tendence "0".

Ievērojot kosinīna grafiku, var redzēt, ka tad, kad "x" ir tuvu "0", tad kosines grafiks ir tuvu "1". Tas nozīmē, ka cos (x) robeža, kad "x" mēdz būt "0", ir vienāda ar "1".

Var pastāvēt ierobežojums (būt skaitlim), kā tas ir iepriekšējos piemēros, bet var notikt arī tas, ka tas nepastāv, kā parādīts nākamajā piemērā.

- Tan (x) robeža, kad "x" mēdz būt "Π / 2" kreisajā pusē, ir vienāda ar "+ ∞", kā redzams grafikā. No otras puses, tan (x) robeža, kad "x" ir "-Π / 2" labajā pusē, ir vienāda ar "-∞".

Trigonometrisko robežu identitātes

Divas ļoti noderīgas identitātes, aprēķinot trigonometriskos ierobežojumus, ir šādas:

- Robeža "sin (x) / x", kad "x" mēdz būt "0", ir vienāda ar "1".

- Robeža "(1-cos (x)) / x", kad "x" mēdz būt "0", ir vienāda ar "0".

Šīs identitātes tiek izmantotas ļoti bieži, ja jums ir kāda nenoteiktība.

Atrisinātās mācības

Atrisiniet šādas robežas, izmantojot iepriekš aprakstītās identitātes.

- Aprēķiniet "f (x) = sin (3x) / x" robežu, kad "x" ir tendence "0".

Ja funkcija "f" tiek vērtēta "0", tiks iegūts 0/0 tipa nenoteiktība. Tāpēc mums ir jācenšas atrisināt šo nenoteiktību, izmantojot aprakstītās identitātes.

Vienīgā atšķirība starp šo robežu un identitāti ir skaitlis 3, kas parādās sinuso funkciju ietvaros. Lai izmantotu identitāti, funkcija "f (x)" jāpārraksta šādi: "3 * (sin (3x) / 3x)". Tagad gan sinusa arguments, gan saucējs ir vienādi.

Tātad, ja "x" mēdz "0", izmantojot identitāti, iegūst "3 * 1 = 3". Tāpēc f (x) robeža, kad "x" ir "0", ir vienāda ar "3"..

- Aprēķiniet "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" robežu, kad "x" ir tendence "0".

Kad "x = 0" ir aizvietots g (x), iegūst ∞-∞ tipa nenoteiktību. Lai to atrisinātu, frakcijas tiek atņemtas, kas dod rezultātu "(1-cos (x)) / x".

Tagad, piemērojot otro trigonometrisko identitāti, mums ir robeža g (x), kad "x" ir tendence "0" ir vienāda ar 0.

- Aprēķiniet "h (x) = 4tan (5x) / 5x", kad "x" mēdz būt "0".

Atkal, ja jūs vērtējat h (x) uz "0", jūs saņemsiet 0/0 tipa nenoteiktību.

Tīrīšanas pārrakstīšana (5x) kā sin (5x) / cos (5x) rezultāti, ka h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Izmantojot 4 / cos (x) robežu, kad "x" mēdz būt "0", ir vienāds ar "4/1 = 4" un iegūst pirmo trigonometrisko identitāti, ka h (x) robeža, kad "x" ir tendence "0" ir vienāds ar "1 * 4 = 4".

Novērošana

Trigonometriskos ierobežojumus ne vienmēr ir viegli atrisināt. Šajā rakstā tika parādīti tikai pamata piemēri.

Atsauces

1. Flemings, W., un, Varberg, D., E., (1989). Precalculus matemātika. Prentice Hall PTR.
2. Flemings, W., un, Varberg, D., E., (1989). Precalculus matemātika: problēmu risināšanas pieeja (2, Illustrated ed.). Mičigana: Prentice zāle.
3. Flemings, W., un, Varberg, D., (1991). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
4. Larsons, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage mācīšanās.
5. Leal, J. M., un Vilorija, N. G. (2005). Plakanā analītiskā ģeometrija. Mérida - Venecuēla: redakcijas Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E. J., Varberg, D., & Rigdon, S. E. (2007). Aprēķins (Devītais izdevums). Prentices zāle.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciālais aprēķins ar agrīnām pārpasaulīgām funkcijām zinātnē un inženierzinātnēs (Otrā izdevuma izdevums). Hypotenuse.
9. Scott, C. A. (2009). Dekarta plaknes ģeometrija, daļa: Analītiskā konika (1907) (atkārtota izdrukāšana). Zibens avots.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.