Daudzkārtīgās principa skaitīšanas metodes un piemēri



The reizinošs princips ir metode, ko izmanto, lai atrisinātu skaitīšanas problēmas, lai atrastu risinājumu bez nepieciešamības uzskaitīt tā elementus. To sauc arī par kombinatoriskās analīzes pamatprincipu; ir balstīta uz secīgu reizināšanu, lai noteiktu, kā notikums var notikt.

Šis princips nosaka, ka, ja tiek pieņemts lēmums (d1) var pieņemt n veidā un citu lēmumu (d2) var tikt pieņemts m veidā, kopējais lēmumu pieņemšanas veidu skaits1 un d2 būs vienāds ar reizinājumu n * m. Saskaņā ar šo principu katrs lēmums tiek pieņemts pēc kārtas: ceļu skaits = N1 * N2... * Nx veidos.

Indekss

  • 1 Piemēri
    • 1.1 1. piemērs
    • 1.2. 2. piemērs
  • 2 Skaitīšanas metodes
    • 2.1. Papildinājuma princips
    • 2.2 Permutācijas princips
    • 2.3. Kombinācijas princips
  • 3 Risinājumi atrisināti
    • 3.1. 1. uzdevums
    • 3.2. 2. uzdevums
  • 4 Atsauces

Piemēri

1. piemērs

Paula plāno doties uz filmām ar saviem draugiem, kā arī izvēlēties drēbes, kuras viņa valkās, atdalīju 3 blūzes un 2 svārkus. Cik daudz veidu Paula var saģērbt??

Risinājums

Šajā gadījumā Paula ir jāpieņem divi lēmumi:

d1 = Izvēlieties starp 3 blūņām = n

d2 = Izvēlieties 2 svārkus = m

Tādā veidā Paula ir n * m lēmumus veikt vai dažādus apstrādes veidus.

n * m = 3* 2 = 6 lēmumi.

Reizinošais princips izriet no koka diagrammas tehnikas, kas ir diagramma, kas attiecas uz visiem iespējamiem rezultātiem, lai katrs varētu notikt ierobežotam reižu skaitam.

2. piemērs

Mario bija ļoti izslāpis, tāpēc viņš devās uz maizi, lai nopirktu sulu. Luis atbild uz viņu un stāsta viņam, ka viņam ir divi izmēri: liels un mazs; un četras garšas: ābolu, apelsīnu, citronu un vīnogu. Cik veidu Mario var izvēlēties sulu?

Risinājums

Diagrammā var konstatēt, ka Mario ir 8 dažādi veidi, kā izvēlēties sulu un ka, kā tas ir multiplikācijas principā, šo rezultātu iegūst, reizinot n.*m. Vienīgā atšķirība ir tā, ka, izmantojot šo diagrammu, jūs varat zināt, kā Mario izvēlas sulas.

No otras puses, ja iespējamo rezultātu skaits ir ļoti liels, praktiskāk ir izmantot multiplikācijas principu.

Skaitīšanas metodes

Skaitīšanas paņēmieni ir metodes, kas tiek izmantotas tiešā skaita noteikšanai, un tādējādi zināms, cik daudz var būt konkrēta komplekta elementi. Šīs metodes balstās uz vairākiem principiem:

Papildināšanas princips

Šis princips nosaka, ka, ja vienā un tajā pašā laikā nevar notikt divi notikumi m un n, tad pirmais vai otrais notikums var būt summa m + n:

Veidlapu skaits = m + n ... + x dažādas formas.

Piemērs

Antonio vēlas ceļot, bet nenolemj, kurš galamērķis; Dienvidu tūrisma aģentūrā viņi piedāvā Jums veicināšanu, lai ceļotu uz Ņujorku vai Lasvegasu, savukārt Austrumu tūrisma aģentūra iesaka ceļot uz Franciju, Itāliju vai Spāniju. Cik daudz dažādu ceļojumu alternatīvu piedāvā Antonio?

Risinājums

Ar Dienvidu tūrisma aģentūru Antonio ir divas alternatīvas (Ņujorka vai Las Vegas), savukārt Austrumu tūrisma aģentūrā ir 3 iespējas (Francija, Itālija vai Spānija). Dažādu alternatīvu skaits ir:

Alternatīvu skaits = m + n = 2 + 3 = 5 alternatīvas.

Permutācijas princips

Runa ir par visu vai dažu elementu, kas veido komplektu, pasūtīšanu, lai atvieglotu visu iespējamo pasākumu, kurus var veikt ar elementiem, uzskaiti..

N dažādo elementu permutāciju skaits, kas ņemts uzreiz, tiek attēlots kā:

nPn = n!

Piemērs

Četri draugi vēlas fotografēt un vēlas uzzināt, cik daudz dažādu formu var pasūtīt.

Risinājums

Jūs vēlaties uzzināt visu iespējamo veidu kopumu, kurā var ievietot 4 cilvēkus, lai uzņemtu attēlu. Tātad, jums ir:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 dažādi veidi.

Ja n pieejamo elementu permutāciju skaitu veic kopas daļas, ko veido r elementi, tas tiek attēlots kā:

nPr = n! ÷ (n - r)!

Piemērs

Klases telpā ir 10 vietas. Ja klasē piedalās 4 studenti, cik dažādos veidos studenti var ieņemt amatus?

Risinājums

Kopējais krēslu komplektu skaits ir 10, un no tiem tikai 4 tiks izmantoti, lai noteiktu secību skaitu:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 veidi, kā aizpildīt ziņas.

Ir gadījumi, kad daži no pieejamajiem komplekta elementiem tiek atkārtoti (tie ir vienādi). Lai aprēķinātu kārtību skaitu, kurā visi elementi uzreiz tiek izmantoti, izmanto šādu formulu:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

Piemērs

Cik dažādus vārdus no četriem burtiem var veidot no vārda "vilks"?

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir 4 elementi (burti), no kuriem divi ir tieši tādi paši. Izmantojot šo formulu, mēs zinām, cik daudz dažādu vārdu ir:

nPr = n! ÷ n1!* n2!... nr!

4P2, 1.1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4. \ T*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 dažādi vārdi.

Kombinācijas princips

Runa ir par visu vai dažu elementu noteikšanu, kas veido kopumu bez konkrēta pasūtījuma. Piemēram, ja jums ir XYZ masīvs, tas būs tāds pats kā ZXY, YZX, ZYX bloki, cita starpā; tas ir tāpēc, ka, neskatoties uz to, ka tie nav tādā pašā kārtībā, katras vienošanās elementi ir vienādi.

Ja tiek ņemti daži komplekta (n) elementi (r), kombinācijas principu nosaka ar šādu formulu:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

Piemērs

Veikalā viņi pārdod 5 dažāda veida šokolādes. Cik dažādos veidos varat izvēlēties 4 šokolādes konfektes?

Risinājums

Šajā gadījumā jums jāizvēlas 4 šokolādes no 5 veikalos pārdotajiem veidiem. To izvēles kārtība nav svarīga, turklāt šokolādes veidu var izvēlēties vairāk nekā divas reizes. Piemērojot formulu, jums ir:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)! 4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 dažādi veidi, kā izvēlēties 4 šokolādes.

Kad tiek ņemti visi komplekta (n) elementi (r), kombinācijas principu nosaka ar šādu formulu:

nCn = n!

Atrisinātās mācības

1. uzdevums

Jums ir beisbola komanda ar 14 locekļiem. Cik veidos spēli var piešķirt 5 pozīcijām?

Risinājums

Komplekts sastāv no 14 elementiem un vēlaties piešķirt 5 konkrētas pozīcijas; tas ir, tas ir svarīgi. Permutācijas formula tiek piemērota, ja n pieejamie elementi tiek ņemti no komplekta daļām, ko veido r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Kur n = 14 un r = 5. Tas ir aizvietots ar formulu:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 veidi, kā piešķirt 9 spēļu pozīcijas.

2. uzdevums

Ja 9 locekļu ģimene dodas ceļojumā un pērk biļetes ar secīgām sēdvietām, cik daudz dažādu veidu viņi var sēdēt?

Risinājums

Apmēram 9 elementi aizņems 9 vietas.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 dažādi sēdēšanas veidi.

Atsauces

  1. Hopkins, B. (2009). Resursi diskrētu matemātikas mācīšanai: klases projekti, vēstures moduļi un raksti.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Diskrētā matemātika Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Galīgais un diskrētais matemātikas problēmu risinātājs. Pētniecības un izglītības asociācijas redaktori.
  4. Padró, F. C. (2001). Diskrētā matemātika Politika. no Katalonijas.
  5. Steiner, E. (2005). Lietišķo zinātņu matemātika. Reverte.