Homothety rekvizīti, veidi un piemēri

The homotecia ir ģeometriska izmaiņas plaknē, kur no fiksēta punkta, ko sauc par centru (O), attālumi tiek reizināti ar kopīgu faktoru. Tādā veidā katrs punkts P atbilst citam transformācijas punkta P 'produktam, un tie ir saskaņoti ar punktu O.

Tad homothety ir divu ģeometrisko figūru atbilstība, kur pārveidotos punktus sauc par homotētiskiem, un tie ir saskaņoti ar fiksētu punktu un segmentiem, kas ir paralēli viens otram.

Indekss

• 1 Homotecia
• 2 Rekvizīti
• 3 veidi
  • 3.1
  • 3.2. Reversā homothety
• 4 Sastāvs
• 5 Piemēri
  • 5.1 Pirmais piemērs
  • 5.2 Otrais piemērs
• 6 Atsauces

Homothety

Homothety ir transformācija, kurai nav saskanīga tēla, jo no skaitļa tiks iegūts viens vai vairāki skaitļi, kas ir lielāki vai mazāki par sākotnējo skaitli; tas ir, ka homotips pārveido daudzstūri par citu līdzīgu.

Lai aizpildītu homotētiku, tiem jāatbilst punktam un taisni uz taisni, lai homologu punktu pāri būtu saskaņoti ar trešo fiksēto punktu, kas ir homothety centrs..

Tāpat arī līniju pāriem, kas tiem pievienojas, jābūt paralēli. Attiecība starp šādiem segmentiem ir konstante, ko sauc par homotetisko attiecību (k); tādā veidā, ka homothety var definēt kā:

Lai padarītu šāda veida transformāciju sākumu, izvēloties patvaļīgu punktu, kas būs homothety centrs.

No šī brīža līnijas segmenti tiek veidoti katram transformējamā skaitļa virsotnei. Skaitlis, kādā tiek izdarīta jaunā attēla reproducēšana, tiek sniegts, pamatojoties uz homothety (k).

Rekvizīti

Viena no galvenajām homothety īpašībām ir tāda, ka homotētikas (k) dēļ visi homotētiskie skaitļi ir līdzīgi. Starp citām izcilām īpašībām ir šādas:

- Homothety centrs (O) ir vienīgais dubultpunkts un tas pārvēršas par sevi; tas ir, tas neatšķiras.

- Līnijas, kas iziet cauri centram, pārvēršas par sevi (tās ir dubultas), bet punkti, kas to veido, nav divkārši.

- Straumes, kas nav cauri centram, pārveido paralēlās līnijās; šādā veidā viengabalainības leņķi paliek nemainīgi.

- Segmenta attēls ar centru O homotīmu un attiecību k, ir paralēls šim segmentam un ir k reizes lielāks par tā garumu. Piemēram, kā redzams nākamajā attēlā, ar AB homotētisku segmentu tiks iegūts cits segments A'B ', tāpēc AB būs paralēla A'B' un k būs:

- Homotētiskie leņķi ir vienādi; tas ir, tie ir vienādi. Tāpēc leņķa attēls ir leņķis, kam ir tāda pati amplitūda.

No otras puses, homothety mainās atkarībā no tā attiecība (k), un var rasties šādi gadījumi:

- Ja konstante k = 1, visi punkti ir fiksēti, jo tie pārveidojas. Tādējādi homotētiskais skaitlis sakrīt ar oriģinālu un transformāciju sauc par identitātes funkciju.

- Ja k ≠ 1, vienīgais fiksētais punkts būs homothety centrs (O).

- Ja k = -1, homothety kļūst par centrālo simetriju (C); tas nozīmē, ka rotācija ap C notiek 180 leņķī^o.

- Ja k> 1, pārveidotā skaitļa lielums būs lielāks par oriģināla izmēru.

- Jā 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Jā -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Ja k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

Veidi

Homothety var arī iedalīt divos veidos atkarībā no tā attiecība (k):

Tieša homotetija

Tas notiek, ja konstante k> 0; tas ir, homotētiskie punkti atrodas vienā pusē attiecībā pret centru:

Proporcionalitātes vai līdzības attiecība starp tiešajiem homotētiskajiem rādītājiem vienmēr būs pozitīva.

Reverss homotētisks

Tas notiek, ja konstante k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Proporcionalitātes vai līdzības koeficienta attiecība starp homotētiskajiem apgriezieniem vienmēr būs negatīva.

Sastāvs

Ja vairākas kustības tiek veiktas secīgi, līdz iegūst skaitli, kas ir vienāds ar oriģinālu, notiek kustību sastāvs. Vairāku kustību sastāvs ir arī kustība.

Sastāvs starp divām homotekijām rada jaunu homotekiju; tas ir, mums ir homotētisks produkts, kurā centrs tiks saskaņots ar divu sākotnējo transformāciju centru, un attiecība (k) ir divu iemeslu rezultāts..

Tādējādi divu H homotheces sastāvā₁(Or₁, k₁) un H₂(Or₂, k₂), reizinot jūsu iemeslus: k₁ x k₂ = 1 radīs homotetisko attiecību pret k₃ = K₁ x k₂. Šīs jaunās homothety centrs (O₃) atradīsies uz O taisnas₁ O₂.

Homothety atbilst vienotas un neatgriezeniskas izmaiņas; ja tiek pielietotas divas homotēkas, kurām ir tāds pats centrs un attiecība, bet ar citu zīmi, tiks iegūts sākotnējais skaitlis.

Piemēri

Pirmais piemērs

Uzklājiet homothety konkrētajam centrālajam daudzstūrim (O), kas atrodas 5 cm attālumā no A punkta un kura attiecība ir k = 0,7.

Risinājums

Jebkurš punkts ir izvēlēts par homotēzes centru, un no šī starojuma tiek izvilkti skaitļa virsotnes:

Attālums no centra (O) līdz punktam A ir OA = 5; ar to jūs varat noteikt viena no homotētiskajiem punktiem (OA), zinot arī to, ka k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Šo procesu var izdarīt katram virsotnei, vai arī varat izdarīt homotētisko poligonu, atceroties, ka abiem poligoniem ir paralēlas puses:

Visbeidzot, transformācija izskatās šādi:

Otrais piemērs

Uzklājiet homothety attiecīgajam centra daudzstūrim (O), kas atrodas 8,5 cm attālumā no C punkta un kura y attiecība k = -2.

Risinājums

Attālums no centra (O) līdz punktam C ir OC = 8,5; ar šiem datiem ir iespējams noteikt viena no homotētiskajiem punktiem (OC), zinot arī to, ka k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Pēc pārvērstās daudzstūra virsotņu segmentu zīmēšanas mēs esam norādījuši, ka sākotnējie punkti un to homotētika atrodas pretējā galā attiecībā pret centru:

Atsauces

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Tehniskais rasējums: darbības piezīmjdators.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Afinitāte, homoloģija un homothety.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineārā algebra un projekcijas ģeometrija. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Vispārējā matemātika, varbūtības un statistika.
5. Meserve, B. E. (2014). Ģeometrijas pamatjēdzieni. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Ievads algebrā. Reverte.