Faktorizācijas metodes un piemēri

The faktorizācija ir metode, ar kuras palīdzību polinoms tiek izteikts faktoru reizināšanas veidā, kas var būt skaitļi, burti vai abi. Lai faktorizētu faktorus, kas ir kopīgi terminiem, grupēti, un tādā veidā polinoms tiek sadalīts vairākos polinomos.

Tādējādi, kad faktori vairojas viens otram, rezultāts ir sākotnējais polinoms. Faktorings ir ļoti noderīga metode, ja jums ir algebriskās izteiksmes, jo to var pārvērst vairāku vienkāršu terminu reizinājumā; Piemēram: 2a² + 2ab = 2a _* (a + b).

Ir gadījumi, kad polinomu nevar ņemt vērā, jo nav kopīga faktora starp tā noteikumiem; tādējādi šīs algebriskās izteiksmes ir sadalāmas tikai starp tām un ar 1. Piemēram: x + y + z.

Algebriskajā izteiksmē kopējais faktors ir to kopīgo lielāko dalītāju, kas to veido.

Indekss

• 1 Faktoringa metodes
  • 1.1. Faktorings ar kopīgu faktoru
  • 1.2 1. piemērs
  • 1.3. 2. piemērs
  • 1.4 Faktorings grupējot
  • 1.5 1. piemērs
  • 1.6 Faktorings ar pārbaudi
  • 1.7 1. piemērs
  • 1.8. 2. piemērs
  • 1.9. Faktorings ar ievērojamiem produktiem
  • 1.10 1. piemērs
  • 1.11 2. piemērs
  • 1.12 3. piemērs
  • 1.13 Faktorings ar Ruffini likumu
  • 1.14 1. piemērs
• 2 Atsauces

Faktoringa metodes

Ir vairākas faktoringa metodes, kas tiek piemērotas atkarībā no gadījuma. Daži no tiem ir šādi:

Faktorings pēc kopīga faktora

Šajā metodē tiek identificēti tie bieži sastopamie faktori; tas ir, tie, kas atkārtojas izteiksmes izteiksmē. Tad tiek izmantota sadales īpašība, tiek noņemts maksimālais kopējais dalītājs un pabeigta faktorizācija.

Citiem vārdiem sakot, tiek identificēts kopīgais izteiksmes faktors un katrs termins ir sadalīts starp to; iegūtie termini tiks reizināti ar vislielāko kopīgo faktoru faktora izteikšanai.

1. piemērs

Faktors (b²x) + (b²y).

Risinājums

Vispirms katram terminam ir kopīgs faktors, kas šajā gadījumā ir b², un tad termini ir sadalīti starp kopējo faktoru šādi:

(b²x) / b² = x

(b²y) / b² = y.

Fakcionizācija ir izteikta, kopīgo faktoru reizinot ar sekojošiem terminiem:

(b²x) + (b²y) = b² (x + y).

2. piemērs

Factorize (2a)²b³) + (3ab²).

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir divi faktori, kas tiek atkārtoti katram terminam, kas ir "a" un "b", un kas ir paaugstināti pie varas. Lai tos ņemtu vērā, vispirms abi termini ir sadalīti to garajā formā:

2_*a_*a_*b_*b_*b + 3a_*b_*b

Var novērot, ka faktors "a" tiek atkārtots tikai vienreiz otrajā termiņā, un faktors "b" tajā tiek atkārtots divreiz; tā pirmajā reizē ir tikai 2, faktors "a" un "b"; otrajā termiņā ir tikai 3.

Tādēļ mēs rakstām laiku, kad "a" un "b" tiek atkārtoti un reizināti ar faktoriem, kas palikuši pāri katram termiņam, kā redzams attēlā:

Faktorizācija grupējot

Tā kā ne visos gadījumos ir skaidri izteikts polinoma maksimālais kopējais dalītājs, ir nepieciešams veikt citus pasākumus, lai varētu pārrakstīt polinomu un tādējādi faktoru..

Viens no šiem soļiem ir polinoma nosacījumu grupēšana vairākās grupās un pēc tam izmantot kopīgo faktoru metodi.

1. piemērs

Faktors ac + bc + ad + bd.

Risinājums

Ir četri faktori, kur divi ir kopīgi: pirmajā termiņā tas ir "c", bet otrajā - "d". Tādā veidā abi termini ir sagrupēti un atdalīti:

(ac + bc) + (ad + bd).

Tagad ir iespējams izmantot kopīgo faktoru metodi, dalot katru terminu ar tā kopējo faktoru un pēc tam reizinot šo kopējo faktoru ar sekojošiem terminiem, piemēram:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Tagad jums ir binoms, kas ir kopīgs abiem terminiem. Lai to noteiktu, to reizina ar atlikušajiem faktoriem; tādā veidā jums ir:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Faktorizācija ar pārbaudi

Šo metodi izmanto kvadrātisko polinomu noteikšanai, ko sauc arī par trinomiem; tas ir, tie, kas ir strukturēti kā cirvis² ± bx + c, kur "a" vērtība atšķiras no 1. Šī metode tiek izmantota arī tad, ja trinomijai ir forma x² ± bx + c un vērtība "a" = 1.

1. piemērs

Faktors x² + 5x + 6.

Risinājums

Jums ir kvadrāta trinoms ar formu x² ± bx + c. Lai to izdarītu vispirms, ir jāatrod divi skaitļi, kas reizinot, dod rezultātu "c" (tas ir, 6) un ka tā summa ir vienāda ar koeficientu "b", kas ir 5. Šie skaitļi ir 2 un 3. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Šādā veidā izteiksme ir vienkāršota šādi:

(x² + 2x) + (3x + 6)

Katrs termins tiek ņemts vērā:

- Par (x² + 2x) kopējais termins tiek iegūts: x (x + 2)

- Par (3x + 6) = 3 (x + 2)

Tādējādi izteiksme paliek:

x (x +2) + 3 (x +2).

Tā kā jums ir kopīgs binoms, lai samazinātu izteiksmi, to reiziniet ar pārpalikuma noteikumiem, un jums ir:

x² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

2. piemērs

4.a faktors² + 12a + 9 = 0.

Risinājums

Jums ir kvadrāta trinoms no cirvi² ± bx + c un, lai to noteiktu, visa izteiksme tiek reizināta ar koeficientu x²; šajā gadījumā 4.

4a² + 12a +9 = 0

4a² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12a (4) + 36 = 0

4² a² + 12a (4) + 36 = 0

Tagad mums ir jāatrod divi skaitļi, kas reizinot reizēm dod vērtību "c" (kas ir 36) un ka, pievienojot kopā, iegūst termina "a" koeficientu, kas ir 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Tādā veidā izteiksme tiek pārrakstīta, ņemot vērā to² a² = 4a _* 4a. Tāpēc sadales īpašums tiek piemērots katram termiņam:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Visbeidzot, izteiksme tiek dalīta ar koeficientu²; tas ir, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Izteiksme ir šāda:

4a² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Faktorings ar ievērojamiem produktiem

Ir gadījumi, kad, lai pilnībā novērtētu polinomas ar iepriekšējām metodēm, tas kļūst par ļoti garu procesu.

Tieši tāpēc izteiksmi var attīstīt ar ievērojamo produktu formulām un tādējādi process kļūst vienkāršāks. Starp visbiežāk lietotajiem produktiem ir:

- Divu kvadrātu atšķirība: (a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

- Perfekta kvadrāts: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Perfekta kvadrāts: a² - 2ab + b² = (a - b)²

- Divu kubu atšķirība: a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

- Divu kubu summa: a³ - b³ = (a + b) _* (a² - ab + b²)

1. piemērs

Faktors (5. \ T² - x²)

Risinājums

Šajā gadījumā ir divu kvadrātu atšķirība; tādēļ ievērojamā produkta formula tiek izmantota:

(a² - b²) = (a - b) _* (a + b)

(5. \ T² - x²) = (5 - x) _* (5 + x)

2. piemērs

Faktors 16x² + 40x + 25²

Risinājums

Šajā gadījumā mums ir ideāls kvadrāts ar summu, jo mēs varam identificēt divus apzīmējumus ar kvadrātu, un atlikušais termiņš ir divu reizinājumu reizinājums ar pirmās kārtas kvadrātsakni, otrajā termiņā.

a² + 2ab + b² = (a + b)²

Lai aprēķinātu faktoru, tiek aprēķināti tikai pirmās un trešās kategorijas kvadrātveida saknes:

√ (16x²) = 4x

√ (25²) = 5.

Tad abus iegūtos terminus atdala operācijas zīme, un viss polinoms ir kvadrātā:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

3. piemērs

Faktors 27a³ - b³

Risinājums

Izteiksme ir atņemšana, kurā kubā tiek izvirzīti divi faktori. Lai tos ņemtu vērā, tiek izmantota kubu atšķirības ievērojamā produkta formula, kas ir:

a³ - b³ = (a-b)_*(a² + ab + b²)

Tādējādi, lai faktorizētu, katra binomiskā termina kubiskā sakne tiek iegūta un reizināta ar pirmā termiņa kvadrātu, pieskaitot pirmās kārtas produkciju otrajam termiņam, kā arī otro kvadrātu..

27a³ - b³

³√ (27a³) = 3a

³√ (-b³) = -b

27a³ - b³ = (3a - b) _* [(3a)² + 3ab + b²)]

27a³ - b³ = (3a - b) _* (9a² + 3ab + b²)

Faktorings ar Ruffini likumu

Šī metode tiek izmantota, ja jums ir polinoms, kura pakāpe ir lielāka par diviem, lai vienkāršotu izteiksmi vairākiem mazāku pakāpes polinomiem.

1. piemērs

Faktors Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

Risinājums

Vispirms meklēt numurus, kas ir 12 dalītāji, kas ir neatkarīgais termins; tie ir ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 un ± 12.

Tad x tiek aizstātas ar šīm vērtībām, no zemākās līdz augstākajam, un tādējādi tiek noteikts, kura no vērtībām ir precīza; tas ir, pārējiem jābūt 0:

x = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

Un tā tālāk par katru dalītāju. Šajā gadījumā atrastie faktori ir x = -1 un x = 2.

Tagad tiek izmantota Ruffini metode, saskaņā ar kuru izteiksmes koeficienti tiks sadalīti starp faktoriem, kas konstatēti, lai sadalījums būtu precīzs. Polinomu termini tiek pasūtīti no augstākā līdz zemākajam eksponentam; ja trūkst termina ar sekojošu pakāpi, 0 vietā tiek ievietots 0.

Koeficienti atrodas shēmā, kā redzams nākamajā attēlā.

Pirmais koeficients tiek samazināts un reizināts ar dalītāju. Šajā gadījumā pirmais dalītājs ir -1, un rezultāts tiek ievietots nākamajā slejā. Tad koeficienta vērtība tiek pievienota vertikāli ar iegūto rezultātu, un rezultāts tiek novietots zemāk. Tādā veidā process tiek atkārtots līdz pēdējai slejai.

Tad to pašu procedūru atkārto vēlreiz, bet ar otro dalītāju (kas ir 2), jo izteiksme joprojām ir vienkāršota.

Tādējādi katrai iegūtai saknei polinomam būs termins (x - a), kur "a" ir saknes vērtība:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

No otras puses, šie termini ir jāreizina ar atlikušo Ruffini noteikumu 1: 1 un -6, kas ir pakāpe. Tādā veidā veidotā izteiksme ir: (x² + x - 6).

Polinoma faktorizācijas rezultāta iegūšana ar Ruffini metodi ir:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x² + x - 6)

Lai pabeigtu, 2. pakāpes polinomu, kas parādās iepriekšējā izteiksmē, var pārrakstīt kā (x + 3) (x-2). Tāpēc galīgais faktorizācija ir:

x⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(x-2).

Atsauces

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Kā mācīt bērnus par faktoringu uz polinomu.
3. Manuel Morillo, A. S. (s.f.). Matemātika ar lietojumiem.
4. Roelse, P. L. (1997). Lineārās metodes polinoma faktorizācijai galīgajos laukos: teorija un ieviešana. Essen Universität.
5. Sharpe, D. (1987). Gredzeni un faktori.