Polinomu vienādojumi (ar atrisinātām nodarbībām)

The polinomu vienādojumi ir paziņojums, kas paaugstina divu izteiksmju vai biedru vienlīdzību, kur vismaz viens no terminiem, kas veido abas vienlīdzības puses, ir polinomi P (x). Šie vienādojumi ir nosaukti atbilstoši to mainīgo lielumam.

Kopumā vienādojums ir paziņojums, kas nosaka divu izteiksmju vienlīdzību, kur vismaz vienā no tiem ir zināmi daudzumi, ko sauc par mainīgiem vai nezināmiem. Lai gan ir vairāki vienādojumu veidi, tos parasti iedala divos veidos: algebriskā un pārpasaulīgā.

Polinomu vienādojumos ir tikai algebriskās izteiksmes, kurām vienādojumā var būt viens vai vairāki nezināmi. Saskaņā ar eksponentu (pakāpi) tos var iedalīt: pirmais grāds (lineārs), otrais grāds (kvadrātiskais), trešais grāds (kubiskais), ceturtais grāds (kvarts), lielāks vai vienāds ar pieciem un neracionāls.

Indekss

• 1 Raksturojums
• 2 veidi
  • 2.1. Pirmā pakāpe
  • 2.2. Otrais grāds
  • 2.3 Resolver
  • 2.4. Augstākā pakāpe
• 3 Risinājumi atrisināti
  • 3.1 Pirmais uzdevums
  • 3.2 Otrais uzdevums
• 4 Atsauces

Funkcijas

Polinomu vienādojumi ir izteiksmes, ko veido divu polinomu vienlīdzība; tas ir, ar galīgo reizināšanas summu starp vērtībām, kas nav zināmas (mainīgie) un fiksētie skaitļi (koeficienti), kur mainīgajiem var būt eksponenti, un to vērtība var būt pozitīvs vesels skaitlis, ieskaitot nulli.

Eksponenti nosaka vienādojuma pakāpi vai veidu. Šis izteiksmes termins, kuram ir visaugstākā vērtība, pārstāv polinoma absolūto pakāpi.

Polinomu vienādojumi ir pazīstami arī kā algebriskie vienādojumi, to koeficienti var būt reāli vai sarežģīti skaitļi un mainīgie ir nezināmi skaitļi, ko attēlo burts, piemēram: "x".

Ja P (x) mainīgā lieluma "x" vērtība tiek aizstāta, rezultāts ir vienāds ar nulli (0), tad tiek teikts, ka šī vērtība atbilst vienādojumam (tas ir risinājums), un parasti to sauc par polinoma sakni.

Kad tiek izstrādāts polinoma vienādojums, jūs vēlaties atrast visas saknes vai risinājumus.

Veidi

Pastāv vairāki polinomu vienādojumu veidi, kas ir diferencēti atkarībā no mainīgo lieluma, kā arī atkarībā no to eksponenta pakāpes..

Tādējādi polinomu vienādojumi - kur pirmais termins ir polinoms ar tikai vienu nezināmu, ņemot vērā, ka tā pakāpe var būt jebkurš dabisks skaitlis (n) un otrais termins ir nulle, var izteikt šādi:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Kur:

- a_n, a_n-1 un a₀, tie ir reāli koeficienti (skaitļi).

- a_n tas atšķiras no nulles.

- Eksponents n ir pozitīvs vesels skaitlis, kas atspoguļo vienādojuma pakāpi.

- x ir mainīgais vai nezināms, kas jāmeklē.

Absolūtā vai lielāka polinoma vienādojuma pakāpe ir lielāka vērtība starp visiem tiem, kas veido polinomu; tādā veidā vienādojumi tiek klasificēti kā:

Pirmā pakāpe

Pirmās pakāpes polinomu vienādojumi, kas pazīstami arī kā lineārie vienādojumi, ir tie, kuros pakāpe (lielākais eksponents) ir vienāds ar 1, polinoms ir P (x) = 0; un tas sastāv no lineāra termiņa un neatkarīga termina. Tas ir rakstīts šādi:

ax + b = 0.

Kur:

- a un b ir reālie skaitļi un a ≠ 0.

- cirvis ir lineārs termins.

- b ir neatkarīgais termins.

Piemēram, vienādojums 13x - 18 = 4x.

Lai atrisinātu lineāros vienādojumus, visi termini, kas satur nezināmo x, jānodod vienlīdzības pusē, un tiem, kas nav pārcelti uz otru pusi, lai to izdzēstu un iegūtu risinājumu:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Tādā veidā dotajam vienādojumam ir viens risinājums vai sakne, kas ir x = 2.

Otrā pakāpe

Otrā līmeņa polinomu vienādojumi, kas pazīstami arī kā kvadrātiskie vienādojumi, ir tie, kuros pakāpe (lielākais eksponents) ir vienāds ar 2, polinoms ir P (x) = 0 formā un sastāv no kvadrātiskā termina , viena lineāra un viena neatkarīga. To izsaka šādi:

cirvis² + bx + c = 0.

Kur:

- a, b un c ir reālie skaitļi un a ≠ 0.

- cirvis² ir kvadrātiskais termins, un "a" ir kvadrātiskā termiņa koeficients.

- bx ir lineārs termins, un "b" ir lineārā termina koeficients.

- c ir neatkarīgais termins.

Šķīdinātājs

Parasti šāda veida vienādojumu risinājums tiek piešķirts, izdzēšot x no vienādojuma, un tas tiek atstāts šādi, ko sauc par risinājumu:

Tur, (b² - 4ac) sauc par vienādojuma diskrimināciju, un šī izteiksme nosaka to risinājumu skaitu, kas vienādojumam var būt:

- Jā (b² - 4ac) = 0, vienādojumam būs viens risinājums, kas ir divkāršs; tas ir, jums būs divi vienādi risinājumi.

- Jā (b² - 4ac)> 0, vienādojumam būs divi dažādi reāli risinājumi.

- Jā (b² - 4ac) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Piemēram, jums ir vienādojums 4x² + 10x - 6 = 0, lai to atrisinātu, vispirms identificējiet terminus a, b un c un pēc tam to aizstāt ar formulu:

a = 4

b = 10

c = -6.

Ir gadījumi, kad otrā līmeņa polinomu vienādojumiem nav trīs terminu, un tāpēc tie tiek atrisināti atšķirīgi:

- Gadījumā, ja kvadrātiskajiem vienādojumiem nav lineārā termina (ti, b = 0), vienādojums tiks izteikts kā cirvis² + c = 0. Lai to atrisinātu, tas tiek dzēsts x² un katram dalībniekam tiek pielietotas kvadrātsaknes, atceroties, ka tiek ņemtas vērā divas iespējamās pazīmes, ka nezināms var būt:

cirvis² + c = 0.

x² = - c ÷ a

Piemēram, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Kad kvadrātiskajam vienādojumam nav neatkarīga termina (ti, c = 0), vienādojums tiks izteikts kā cirvis² + bx = 0. Lai to atrisinātu, pirmajam dalībniekam ir jāizņem nezināmā x kopējais faktors; tā kā vienādojums ir vienāds ar nulli, ir taisnība, ka vismaz viens no faktoriem būs vienāds ar 0:

cirvis² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Tādā veidā jums ir:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Piemēram: jums ir vienādojums 5x² + 30x = 0. Pirmais faktors:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Tiek ģenerēti divi faktori, kas ir x un (5x + 30). Tiek uzskatīts, ka viens no tiem būs vienāds ar nulli un otrs risinājums tiks sniegts:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Galvenais grāds

Lielāka mēroga polinomu vienādojumi ir tie, kas sākas no trešā pakāpes, ko var izteikt vai atrisināt ar vispārējo polinoma vienādojumu jebkuram pakāpei:

a_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 +... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

To izmanto, jo vienādojums ar grādu, kas ir lielāks par diviem, ir polinoma faktorizācijas rezultāts; tas ir, tas ir izteikts kā vienas vai lielākas pakāpes polinomu daudzums, bet bez reālām saknēm.

Šāda veida vienādojumu risinājums ir tiešs, jo divu faktoru reizināšana būs vienāda ar nulli, ja kāds no faktoriem ir nulle (0); tāpēc katrs atrastais polinoma vienādojums ir jāatrisina, katram no tā faktoriem sakārtojot nulli.

Piemēram, jums ir trešā pakāpe (kubiskais) x³ + x² +4x + 4 = 0. Lai to atrisinātu, jāievēro šādas darbības:

- Termini ir sagrupēti:

x³ + x² +4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Lai iegūtu kopējo nezināmā faktora daļu, ekstremitātes ir sadalītas:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- Šādā veidā tiek iegūti divi faktori, kuriem jābūt vienādiem ar nulli:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Var redzēt, ka faktors (x² + 4) = 0 nebūs reāla risinājuma, bet faktors (x + 1) = 0 jā. Tāpēc risinājums ir:

(x + 1) = 0

x = -1.

Atrisinātās mācības

Atrisiniet šādus vienādojumus:

Pirmais uzdevums

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

Risinājums

Šajā gadījumā vienādojumu izsaka kā polinomu reizināšanu; tas ir, tas tiek ņemts vērā. Lai to atrisinātu, katram faktoram jābūt vienādam ar nulli:

- 2x² + 5 = 0, nav risinājuma.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Tādējādi dotajam vienādojumam ir divi risinājumi: x = 3 un x = -1.

Otrais uzdevums

x⁴ - 36 = 0.

Risinājums

Tam tika piešķirts polinoms, ko var pārrakstīt kā kvadrātu atšķirību, lai iegūtu ātrāku risinājumu. Tādējādi vienādojums paliek:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Lai atrastu vienādojumu risinājumu, abi faktori ir vienādi ar nulli:

(x² + 6) = 0, nav risinājuma.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Tādējādi sākotnējam vienādojumam ir divi risinājumi:

x = √6.

x = - √6.

Atsauces

1. Andres, T. (2010). Matemātikas olimpiāde Tresure. Springer. Ņujorka.
2. Angel, A. R. (2007). Elementārā algebra Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineārā algebra un projekcijas ģeometrija. Courier Corporation.
4. Baldors, A. (1941). Algebra Havana: kultūra.
5. Castaño, H. F. (2005). Matemātika pirms aprēķina. Medeljinas Universitāte.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Matemātikas rokasgrāmata olimpiskajai sagatavošanai. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Superior Algebra I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matemātika 3.