3 Lineārās vienādojumu sistēmas un to atrisināšana

The lineārie vienādojumi tie ir polinomi vienādojumi ar vienu vai vairākiem nezināmiem. Šajā gadījumā nezināmie nav paaugstināti līdz pilnvarām, ne arī savstarpēji pavairoti (šajā gadījumā tiek teikts, ka vienādojums ir 1. pakāpe vai pirmā pakāpe).

Vienādojums ir matemātiska vienlīdzība, kurā ir viens vai vairāki nezināmi elementi, kurus mēs saucam par nezināmiem vai nezināmiem, ja ir vairāk nekā viens. Lai atrisinātu šo vienādojumu, ir jāzina nezināmo vērtību vērtība.

Lineārajam vienādojumam ir šāda struktūra:

a₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+... + a_n· X_n= b

Kur₀, a₁, a₂,..., a_n ir reāli skaitļi, par kuriem mēs zinām to vērtību, un tos sauc par koeficientiem, b ir arī zināms reālais skaitlis, ko sauc par neatkarīgu terminu. Un visbeidzot viņi ir X₁, X_2,..., X_n kas ir pazīstami kā nezināmi. Tie ir mainīgie, kuru vērtība nav zināma.

Lineāro vienādojumu sistēma ir lineāru vienādojumu kopa, kur nezināmo vērtību vērtība ir vienāda katrā vienādojumā.

Loģiski, veids, kā atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, piešķir vērtības nezināmajiem, lai varētu pārbaudīt vienlīdzību. Tas nozīmē, ka nezināmie ir jāaprēķina tā, lai visi sistēmas vienādojumi tiktu izpildīti vienlaicīgi. Mēs pārstāvam lineāro vienādojumu sistēmu šādi

a₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ +... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ +... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ +... + c_n· X_n = c_{n + 1}

... .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ +... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 kur a_0, a₁,..., a_n,b₀,b₁,..., b_n ,c₀ ,c₁,..., c_n utt. mums ir reāli skaitļi un nezināmie X₀,..., X_n ,X_{n + 1}.

Katrs lineārais vienādojums ir līnija, un līdz ar to N lineāro vienādojumu vienādojumu sistēma attēlo N taisni zīmētu telpā.

Atkarībā no nezināmo skaitu, kas katram lineārajam vienādojumam ir, rinda, kas attēlo minēto vienādojumu, tiks attēlota citā dimensijā, tas ir, vienādojumā ar diviem nezināmiem (piemēram, 2 · X₁ + X₂ = 0) ir līnija divdimensiju telpā, vienādojums ar trim nezināmiem (piemēram, 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) būtu pārstāvēta trīsdimensiju telpā un tā tālāk.

Risinot vienādojumu sistēmu, X vērtības₀,..., X_n ,X_{n + 1} notiks, ka tie ir griezuma punkti starp līnijām.

Risinot vienādojumu sistēmu, varam izdarīt dažādus secinājumus. Atkarībā no iegūstamā rezultāta veida mēs varam atšķirt trīs lineāro vienādojumu sistēmas:

1 - nenoteikta saderība

Lai gan tas var izklausīties kā joks, iespējams, ka, mēģinot atrisināt vienādojumu sistēmu, mēs nonākam pie stila 0 = 0 acīmredzamības..

Šāda veida situācija rodas, ja vienādojumu sistēmai ir bezgalīgi risinājumi, un tas notiek, kad izrādās, ka mūsu vienādojumu sistēmā vienādojumi pārstāv to pašu līniju. To var redzēt grafiski:

Kā vienādojumu sistēma:

Pieņemot 2 vienādojumus ar 2 nezināmiem, mēs varam attēlot līnijas divdimensiju plaknē

Tā kā mēs varam redzēt līnijas ar to pašu, tad visi pirmās vienādojuma punkti sakrīt ar otrā vienādojuma punktiem, tāpēc tam ir tik daudz punktu, cik griezumi ir, jo līnijai ir, ti, bezgalībai..

2 - Nesaderīgs

Lasot vārdu, varam iedomāties, ka mūsu nākamajai vienādojumu sistēmai nebūs risinājuma.

Ja mēs cenšamies atrisināt, piemēram, šo vienādojumu sistēmu

Grafiski tas būtu:

Ja mēs vairojam visus otrā vienādojuma terminus, iegūstam, ka X + Y = 1 ir 2 · X + 2 · Y = 2. Un, ja šī pēdējā izteiksme tiek atņemta no pirmā vienādojuma, mēs iegūstam

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Vai tas, kas ir tas pats

0 = 1

Kad mēs esam šādā situācijā, tas nozīmē, ka vienādojumu sistēmā attēlotās līnijas ir paralēlas, kas nozīmē, ka pēc definīcijas tās nekad nav sagrieztas un nav izgriezuma punkta. Ja sistēma tiek prezentēta šādā veidā, tā ir neatkarīga.

3. Noteikts atbalsts

Visbeidzot, mēs nonākam pie gadījuma, kad mūsu vienādojumu sistēmai ir viens risinājums, gadījums, kad mums ir līnijas, kas krustojas un rada krustpunktu. Redzēsim piemēru:

Lai to atrisinātu, mēs varam pievienot divus vienādojumus, lai iegūtu

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Ja mēs vienkāršosim, mēs esam palikuši

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

No tā mēs viegli secinām, ka X = 2 un aizvietojot vai X = 2 jebkurā no sākotnējiem vienādojumiem iegūstam Y = 3.

Vizuāli tas būtu:

Lineāro vienādojumu sistēmu risināšanas metodes

Kā mēs redzējām iepriekšējā sadaļā, sistēmām ar 2 nezināmiem un 2 vienādojumiem, pamatojoties uz vienkāršām operācijām, piemēram, pievienošanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu un aizstāšanu, mēs varam tos atrisināt dažu minūšu laikā. Bet, ja mēs cenšamies piemērot šo metodoloģiju sistēmām ar vairāk vienādojumiem un vairāk nezināmu, aprēķini kļūst garlaicīgi un mēs varam viegli kļūdīties.

Lai vienkāršotu aprēķinus, ir vairākas izšķiršanas metodes, bet neapšaubāmi visizplatītākās metodes ir Kramera noteikums un Gauss-Jordānijas izskaušana..

Cramera metode

Lai izskaidrotu, kā šī metode tiek izmantota, ir svarīgi zināt, kas ir tās matrica un zina, kā atrast savu noteicošo faktoru, pieņemsim iekavās, lai definētu šos divus jēdzienus.

Viens matrica tas nav nekas cits kā skaitļu vai algebrisko simbolu kopums, kas novietoti horizontālās un vertikālās līnijās un sakārtoti taisnstūra formā. Mūsu tēmai mēs izmantosim matricu kā vienkāršāku veidu, kā izteikt mūsu vienādojumu sistēmu.

Redzēsim piemēru:

Tā būs lineāro vienādojumu sistēma

Šī vienkāršā vienādojumu sistēma, ko mēs varam apkopot, ir divu 2 × 2 matricu darbība, kas rada 2 × 1 matricu..

Pirmā matrica atbilst visiem koeficientiem, otrā matrica ir nezināmie risinājumi, un matrica, kas atrodas pēc vienlīdzības, tiek identificēta ar vienādojumu neatkarīgajiem noteikumiem

The noteicošais ir operācija, ko piemēro matricai, kuras rezultāts ir reāls skaitlis.

Attiecībā uz matricu, ko esam atraduši mūsu iepriekšējā piemērā, tā noteicošais būtu:

Kad ir definētas matricas un determinanta koncepcijas, mēs varam izskaidrot, ko veido Cramer metode.

Ar šo metodi mēs varam viegli atrisināt lineāro vienādojumu sistēmu, ja vien sistēma nepārsniedz trīs vienādojumus ar trim nezināmiem, jo ​​matricas aprēķini 4 x 4 vai augstākai matricai ir ļoti grūti. Gadījumā, ja sistēmai ir vairāk nekā trīs lineārie vienādojumi, metode, izmantojot Gauss-Jordan, ir ieteicama.

Turpinot ar iepriekšējo piemēru, ar Cramer palīdzību mums vienkārši ir jāaprēķina divi faktori, un ar to mēs atradīsim mūsu divu nezināmo vērtību vērtību.

Mums ir mūsu sistēma:

Un mums ir sistēma, ko pārstāv matricas:

X vērtība ir atrodama:

Vienkārši aprēķinot determinantu, kas atrodas sadalītāja saucējā, mēs esam aizstājuši pirmo komūnu neatkarīgo terminu matricai. Un nodaļas saucējā ir mūsu sākotnējās matricas noteicējs.

Veicot tos pašus aprēķinus, lai atrastu Y, mēs iegūstam:

Gauss-Jordan izskaušana

Mēs definējam paplašināta matrica matricai, kas izriet no vienādojumu sistēmas, kurā matricas beigās pievienojam neatkarīgus terminus.

Šī metode, likvidējot Gauss-Jordan, ar matricas rindu starpniecību sastāv no tā, lai pārveidotu mūsu pagarināto matricu daudz vienkāršākā matricā, kur man ir nulle visos laukos, izņemot diagonāli, kur man jāiegūst daži. Šādi:

Kur X un Y būtu reāli skaitļi, kas atbilst mūsu nezināmajiem.

Atrisinīsim šo sistēmu, likvidējot Gauss-Jordan:

Mums jau ir izdevies iegūt nulli mūsu matricas apakšējā kreisajā daļā, nākamais solis ir iegūt 0 augšējā labajā pusē.

Matricas augšējā kreisajā stūrī mēs esam sasnieguši 0, tagad mums tikai jāpārvērš diagonāle uz tiem, un mēs jau esam atrisinājuši mūsu sistēmu ar Gauss-Jordan.

Tāpēc secinām, ka:

Atsauces

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Lineāro vienādojumu sistēmas (bez datuma). Atgūts no uco.es.
4. Lineāro vienādojumu sistēmas. 7. nodaļa (nav datēta). Saturs iegūts no sauce.pntic.mec.es.
5. Lineārā algebra un ģeometrija (2010/2011). Lineāro vienādojumu sistēmas. 1. nodaļa. Algebras departaments. Seviļas Universitāte. Spānija Atgūts no algebra.us.es.